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Freie Schwingung eines Kragbalkens

Die Technische Schwingungslehre auch kurz Schwingungslehre ist die Wissenschaft von den technischen Schwingungsystemen (Oszillatoren.)

Schwingungen spielen in der Natur und Technik eine große Rolle.[1]:218 Bei schwingfähigen Bauteilen ist deren sichere Auslegung in allen Bereichen der Technik, insbesondere im Maschinenbau, Bauingenieurwesen und in der Elektrotechnik, von großer Bedeutung.[2]:1 Sie beschäftigt sich mit

  • der Analyse von Schwingungssystemen,
  • der Einteilung von Schwingungen und
  • dem Entstehen von Schwingungen.

Wesentliche Eigenschaften mechanischer Schwingungssysteme sind ihre Steifigkeit und Trägheit, die sie befähigen eine Verformung zurückzustellen und ihre Zeitableitung, die Verformungsgeschwindigkeit, aufrechtzuhalten. Diese widerstreitenden Eigenschaften führen im sich selbst überlassenen System nach einer irgendwie eingeleiteten, hinreichend kleinen Auslenkung (im linearen Bereich, wo keine Schäden auftreten) wie in der Animation zu Schwingungen. Deren wichtigste Kenngröße ist die Eigenkreisfrequenz, denn wird das System in dieser Frequenz angeregt, kann es zur Resonanzkatastrophe kommen, die es in technischen Systemen zu vermeiden gilt.

Sie ist eine theoretische Disziplin, die das vollständige Verständnis technischer Schwingungsphänomene anstrebt, dabei auch ihre mathematische Beschreibung nutzt, ohne sie zum Selbstzweck werden zu lassen.[3]:V Schwingungen werden mit Differentialgleichungen beschrieben, die es aufzustellen, zu interpretieren und zu lösen gilt. Die Lösungen sind in ihrer physikalisch-technischen Bedeutung zu verstehen. Somit sind in der Entwicklung und Konstruktion Kenntnisse der technischen Schwingungslehre unabdingbar.[2]:VI–1

Die Wellenlehre untersucht sich räumlich ausbreitende Schwingungen. In Abgrenzung dazu, befasst sich dieser Artikel mit stationären Schwingungen, wie sie beim Federpendel oder Kragbalken vorkommen, siehe Bild.

Grundsätzliches

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Einteilung von Schwingungen und Grundbegriffe

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Unter einer Schwingung wird ein sich in gleicher Weise wiederholender Vorgang verstanden, bei dem eine physikalische Größe (wie z. B. der Weg oder die Winkelauslenkung) abwechselnd zu- und abnimmt. Beispiele sind Pendel, Seegang, elektrische Schwingkreise oder Erdbebenwellen.[2]:1[1]:219–239 Folgende Begriffe werden häufig benutzt:

Schwinger
Schwingende mechanische Systeme werden auch kurz Schwinger genannt.
Zustandsgröße, Verallgemeinerte Koordinate
Sie ist die interessierende physikalische Größe, wie die Lage eines Partikels, die zeitlichen Schwankungen unterliegt.
Zeitlicher Verlauf
Deterministische sich widerholende Schwingungen, deren Frequenzanalyse meist die Grundlage der Beurteilung bilden. Aber auch Zufallsschwingungen kommen vor, die beispielsweise vom Wind (siehe Tacoma-Narrows-Brücke#Einsturz der Brücke von 1940) oder von Erdbebenwellen angefacht werden.
Periodische Schwingung
Bei periodischen Schwingungen wiederholt sich der Verlauf mit der Zeit, siehe #Periodische Schwingungen und Funktionen
Entstehung der Schwingung
  • Eine autonome Schwingung erfolgt ausschließlich in vom System selbst bestimmten Frequenzen; freie Schwingungen auch als Überlagerung von Eigenschwingungen sind eine Untergruppe. Die in der Einleitung erwähnten Schwingungen sich selbst überlassener Systeme fallen in diese Kategorie. Aber auch selbsterregte Schwingungen wie beim Pendel sind autonom.
  • Bei heteronomen Schwingungen werden die Frequenzen von äußeren Einflüssen verändert. In der Untergruppe der erzwungenen Schwingungen treten zeitlich schwankende Einflüsse wie Kräfte oder Momente auf, die dem System eine Frequenz aufzwingen. In parametererregten Schwingungen ändert sich eine Systemeigenschaft mit der Zeit, sodass Schwingungen angefacht werden. Ein Beispiel ist die Schaukel, bei der die Schwingung durch Streck- und Beugebewegungen buchstäblich aufgeschaukelt wird.
Dämpfung
Sie bewirkt eine Abnahme der Schwingweite in Eigenschwingungen. Bei oszillatorischer Instabilität tritt negative Dämpfung auf, durch die die Schwingung angefacht wird, siehe #Dämpfung technischer Systeme und Stabilitätstheorie.
Zahl der Bewegungs­freiheitsgrade
Sie gibt die Anzahl der notwendigen, voneinander kinematisch unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten an, mit denen der Zustand eines Systems eindeutig angegeben wird. Häufig können alle trägheitsbehafteten Systemteile als starr angenommen werden, wodurch diskrete Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden entstehen, was die Analyse vereinfacht.
Bewegungsform
Bei kontinuierlicher Massenbelegung ersetzt die Bewegungsform die Freiheitsgrade. Beim oft benutzten Balken ist die Unterscheidung von Schwingbewegungen
vorteilhaft, siehe #Schwingungen der Kontinua
Schwingungsdifferentialgleichung
Dies ist die Differentialgleichung, die die Schwingung beschreibt. Im diskreten System sind es Gewöhnliche Differentialgleichungen, im kontinuierlichem Modell Partielle Differentialgleichungen.
Lineare und nichtlineare Schwingungssysteme
  • Lineare Systemmodelle sind von großem Vorteil, denn sie lassen sich überlagern und besitzen erregungsunabhängige Systemkenngrößen. Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen beschreiben lineare Schwinger. Die Zeitinvarianz der betrachteten Schwinger ist das Ziel der Auslegung.
  • Nichtlineare mechanische Schwingungssysteme kennzeichnet Bewegungsdifferentialgleichungen, die allgemeine nichtlineare Abhängigkeiten von Bewegungs- oder Kraftgrößen enthalten. Die Phänomene nichtlinearer Schwingungen sind vielfältig. Es gibt keine Invarianten mehr; beispielsweise kann die „Eigenkreisfrequenz“ von den Anfangsbedingungen abhängen. Häufig führen Linearisierungen am Betriebspunkt zu befriedigenden Ergebnissen.[2]:2–5

Periodische Schwingungen und Funktionen

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Wiedergabe einer Schwingung durch eine harmonische Funktion

Bei periodischen Schwingungen wiederholt sich der Verlauf mit der Zeit, und Periodische Funktionen können sie kompakt beschreiben, siehe Animation.[2]:7–9[1]:219–221 Die Zeitspanne, bis die Wiederholung auftritt, ist die Periodendauer, Periode oder Schwingungsdauer T, ihr Kehrwert die Frequenz f der Schwingung und die Anzahl der Schwingungen pro Minute ist die Schwingungszahl n.

Schwingungen mit konstanter Amplitude, wie die hier angegebenen, heißen ungedämpft, solche mit abnehmender Amplitude gedämpft und solche mit wachsender Amplitude angefacht. Der Spitze-Tal-Wert entspricht der doppelten Amplitude.

Die Summe der roten und blauen Kurve ist die immernoch periodische schwarze Kurve

Bei der Überlagerung harmonischer Schwingungen sind zwei Fälle zu unterscheiden:

  1. Wenn die beiden Kreisfrequenzen in einem rationalen Verhältnis ω12=p/q mit ganzzahligen sowie teilerfremden p und q stehen, dann ist die sich einstellende Schwingung nicht mehr harmonisch, aber periodisch mit der Periodendauer T=pT1=qT2.
  2. Wenn die beiden Kreisfrequenzen in keinem rationalen Verhältnis stehen, ist ihre Überlagerung nicht mehr periodisch.

Falls die Frequenzen der beiden Schwingungen nahe beieinander liegen kommt es zu einer Schwebung.

Periodische Funktionen können mit (unendlichen) Summen von harmonischen Funktionen dargestellt werden, die Fourierreihen heißen. Die Sägezahn- und Rechteckschwingung sind Beispiele, die unendlicher Summen bedürfen. Mittels der Fourier-Analysis können Zeitsignale in ihre Frequenzanteile zerlegt werden, und umgekehrt kann aus den Frequenzanteilen das Signal zusammengesetzt werden. In der Mess- und Regelungstechnik ist auch das kontinuierliche Spektrum bedeutsam, das aus der Fourier-Transformation entsteht. Mittels der FFT kann ein zeitdiskretes Signal, wie es bei Messungen anfällt, in seine Frequenzanteile zerlegt und analysiert werden.[2]:13f

Ein wichtiger Sonderfall periodischer Schwingungen sind die harmonischen Schwingungen, bei denen die Größe mit dem Sinus und Kosinus, sin bzw. cos, in der Zeit t verläuft. Sie können mit dem Zeigermodell im Bild unten anschaulich dargestellt werden. Ihre allgemeine Bewegungsfunktion als Funktion der Zeit t ist[1]:221[2]:9f

mit Kreisfrequenz ω, Konstanten , Amplitude und Nullphasenwinkel , wo atan2 eine Umkehrfunktion des Tangens ist. Die Zeitableitungen der Bewegungsfunktion liefern die Geschwindigkeit und die Beschleunigung:

Hat die Schwingung zu Beginn (bei t=0) die Auslenkung x0 und die Geschwindigkeit v0, dann berechnen sich die Konstanten

Darstellung mit komplexen Zahlen

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Animiertes Zeigermodell

Die mathematische Behandlung wird kürzer und eleganter, wenn komplexe Zahlen mit der imaginären Einheit j2=-1 eingeführt werden. Es ändert sich dadurch nichts an den physikalischen Zusammenhängen,[4]:469 siehe Animation. Die reellen Parameter der Zahl beschreiben das beobachtete System: In der Animation stellt der Imaginärteil (die y-Koordinate) den zeitlichen Verlauf und der Betrag (r) die Amplitude der Schwingung des Federpendels dar. Der Realteil (die x-Koordinate) gibt eine um −π2≘−90° phasenverschobene Schwingung wieder.

Die xy-Ebene wird als Gaußsche Zahlenebene aufgefasst, in der eine komplexe Zahl z=x+jy mit Realteil x und Imaginärteil y einen Punkt darstellt. Die Polardarstellung von z ist z=r·e mit Betrag r=|z| und Argument φ=atan2(y,x), das dasselbe Vorzeichen wie der Imaginärteil y besitzt. An der Stelle z=-r springt φ von φ=π nach φ=−π, was der Tatsache entspricht, dass der Hauptwert des komplexen Logarithmus auf der negativen reellen Achse nicht stetig ist.

Wird z=r·e mit einer anderen komplexen Zahl V·e multipliziert, ergibt das w=V·r·ej(ψ+φ), d. h. w hat den V-fachen Betrag und ist um den Winkel ψ im Uhrzeigersinn gedreht. Beispielsweise kann die harmonische Erregung elegant in dieser Weise beschrieben werden.

Dämpfung technischer Systeme

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Gedämpfter Schwinger

In realen Systemen nehmen die Auslenkungen von freien Schwingungen durch Energie­dissipation mit der Zeit ab bis das System zur Ruhe kommt: Reale Schwingungen sind gedämpft. Als Ursachen kommen in Frage:

Dämpfung durch Schwingungsdämpfer
Diese werden eingebaut, um ein bestimmtes Schwingungsverhalten zu erzielen, z. B. Stoßdämpfer im Fahrwerk. Ziel kann eine Schwingungstilgung oder Resonanzabsorption sein.
Umgebungsdämpfung
Das System bewegt sich in Luft, einem anderen Gas oder in einer Flüssigkeit. Je nachdem, ob das umgebende Medium in Ruhe oder selbst in Bewegung ist, liegt hydrostatische bzw. hydrodynamische Dämpfung vor.
Material- oder Werkstoffdämpfung
Die Dämpfung entsteht z. B. durch quantenmechanische Prozesse in und zwischen den kristallinen Körnern und Phasen eines Materials, Schlupf auf mikroskopischer Ebene oder durch Wachstum von Mikrorissen. Metalle weisen eine geringere Werkstoffdämpfung auf als Kunststoffe.[5]:197
Lagerdämpfung
In Lagern und Führungen tritt häufig Reibung auf. Bei „Trockener Reibung“ ist die Reibkraft konstant; es gibt aber auch geschwindigkeitsproportionale (viskose s.u.) und dem Quadrat der Geschwindigkeit proportionale Lagerdämpfung.
Systemdämpfung
Sie ist abhängig von der konstruktiven Gestalt des Systems. Z. B. hat eine Nietkonstruktion im allgemeinen eine größere Dämpfung als eine geschweißte Konstruktion.[2]:87 Zu ihr zählt auch die Fügestellendämpfung, die der wahrscheinlich größte Beitrag zur Schwingungsdämpfung realer Maschinen ist.[5]:197
Dämpfung durch Schallabstrahlung
Schwingende Körper, die von einem Fluid umgeben sind, können Energie durch Schallabstrahlung abgeben, was dämpfend wirkt.[5]:197
Viskose Dämpfung
Hier ist die Dämpfungskraft proportional zur Geschwindigkeit, ein Ansatz, mit dem lineare Differenzialgleichungen mit wenigen Parametern entstehen, die den mechanischen Energieverlust während der Schwingungen ausdrücken.[4]:462 Hydraulische Dämpfer weisen sie bei nicht zu großer Geschwindigkeit auf.[2]:88[6]:B38
Rayleigh-, Proportionale- oder α-β-Dämpfung
Es ist ratsam, erzwungene Schwingungen nur in Verbindung mit Dämpfungswerten zu berechnen, da sonst keine brauchbaren Amplitudenwerte in Resonanznähe entstehen. Da oft Dämpfungskonstanten realer Maschinen fehlen, ist es üblich, modale Dämpfungen einzuführen, was am häufigsten mit der Rayleigh-Dämpfung geschieht, die in entsprechend vielen Programmsystemen implementiert ist.[4]:646 Hier sind die viskosen Dämpfer
  • zur Federsteifigkeit k proportional, d=αk, oder
  • zur Masse m proportional, d=βm.
Allerdings hat die zur Masse proportionale Dämpfung keinen physikalischen Bezug. Die zur Federsteifigkeit proportionale Dämpfung eignet sich zur Modellierung der volumetrischen Werkstoffdämpfung, ist aber für die an der Oberfläche wirkende Schallabstrahlung oder die Fügestellendämpfung physikalisch nicht konsistent.[5]:196
Strukturelle Dämpfung
Hier ist die Dämpfungskraft proportional zur Auslenkung, was zu einer quadratischen Amplitudenabhängigkeit des Dämpfungsgrads ohne Frequenzabhängigkeit führt.[5]
Trockene Reibung
Bei Dämpfung durch trockene Reibung (Coulomb’sche Dämpfung) ist die Reibungskraft R konstant, aber immer der Geschwindigkeit entgegengesetzt; dies erfordert eine Fallunterscheidung und die Schwingungsgleichung ist nichtlinear. Die Amplitude der Schwingung nimmt hier linear mit der Zeit ab.

Die Dämpfung kann vernachlässigt werden, wenn nur

  • niedere Eigenfrequenzen (und Resonanzgebiete) eines Antriebssystems,
  • die Spitzenwerte nach Stoßvorgängen, oder
  • Schwingungszustände außerhalb der Resonanzgebiete

interessieren.[4]:44 Wenn sie doch benötigt werden, können sie experimentell ermittelt werden aus[4]:50f

  • dem Ausschwingvorgang einer Eigenform (Logarithmisches Dekrement)
  • dem Verlustwinkel/der Nacheilung der Schwingungsantwort,
  • der Form des Amplitudengangs in Resonanznähe, oder
  • der Hysterese im Kraft-Weg-Diagramm.

Einfacher Schwinger

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Das wichtigste System in der technischen Schwingungslehre ist das lineare Feder-Masse-Dämpfer System mit einem Freiheitsgrad, der auch kurz einfacher Schwinger[1]:222 genannt wird, siehe Bild. Denn zum einen verhalten sich viele Systeme, insbesondere Resonatoren, wie einfache Schwinger (siehe #Der einfache Schwinger als Ersatzsystem) und zum anderen lassen sich lineare Systeme, die mehrere (n) Massen enthalten, die mit Federn und Dämpfern aneinander gekoppelt sind, durch Modalanalyse in n entkoppelte einfache Schwinger (Schwingungsmoden) zerlegen.

System aus Feder (k), Masse (m) und Dämpfer (c) mit einem Freiheitsgrad (x)

Dazu wird eine in einer Richtung (x) frei verschiebliche Masse (m) betrachtet, hellblau im Bild. Auf diese Masse wirken zwei Kräfte:

  • die Federkraft , die das Produkt aus Federkonstante k und Auslenkung x ist, und
  • die Dämpfungskraft , die üblicher Weise das Produkt aus Dämpferkonstante d (im Bild c) und Geschwindigkeit ist (für #Andere Dämpfungsformen siehe dort).

Das zweite newtonsche Gesetz Kraft gleich Masse mal Beschleunigung, F=m·a, angewendet auf die Masse liefert:

Hier zeigt sich der Vorteil des Ansatzes mit der geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung:[4]:462

  • die entstandene Differentialgleichung ist linear und lässt sich entsprechend leicht lösen,
  • es werden nur wenige Parameter gebraucht und
  • die dissipative Wirkung der Dämpfung wird erreicht.

Für die schwingungstechnische Form wird die Gleichung durch die Masse dividiert und es entsteht die homogene Schwingungsgleichung:

Darin ist[2]:89

Formelzeichen Einheit Name
s−1 Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems (bei d=0)
s−1 Abklingkonstante
1 Dämpfungsgrad oder Lehr’sches Dämpfungsmaß
Radiant Dämpfungswinkel, der nur bei D<1 definiert ist, also bei unterkritischer schwacher bis starker Dämpfung.

Bei Krafterregung mittels einer Einzelkraft F(t) oder Fußpunkterregung[2]:153 über den auf und ab schwingenden Boden, bei der die x-Koordinate des Bodens xF(t) vorgegeben wird, liefert newtons Gesetz

Division durch die Masse ergibt nach Umstellung die inhomogene Schwingungsgleichung[2]:154

In Abwesenheit von Krafterregung , Federfußpunkterregung oder Dämpferfußpunkterregung , tritt der entsprechende Term auf der rechten Seite nicht auf und ist wegzulassen.

Der einfache Schwinger als Ersatzsystem

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In der Technik kommen schwingfähige Systeme vor, in denen die Rückstellkraft nicht von einer Feder oder die Trägheit nicht (nur) von einer Masse herrührt. Dann kann der Schwinger als Ersatzsystem dienen, in dem entsprechende Ersatzfedersteifigkeiten kers und Ersatzmassen mers eingesetzt werden. Gelegentlich wird auch die Verschiebung x durch eine verallgemeinerte Koordinate q ersetzt.[2]:139f Die Tabelle zeigt Beispiele hierfür.[2]:231ff

Schwinger Verallgemeinerte Koordinate Ersatzmasse Ersatzsteifigkeit
Federpendel Auslenkung y Masse m Federsteifigkeit D[1]:228f
Drehschwinger Drehwinkel Massen­trägheits­moment Drehfeder­steifigkeit
Rollschwinger[7] Auslenkung m+J/r2 Feder­steifigkeit
Torsionspendel Drehwinkel φ Massen­trägheits­moment J des Pendelkörpers Direktionsmoment
Wasserpendel Auslenkung y Masse der gesamten Wassersäule ρ·A·g
Reibschwinger Auslenkung Masse μ·mg/b, b=Halber Abstand der Rollen
Kragbalken mit Einzelmasse am Ende Axiale Verschiebung Masse des Pendelkörpers kers=EA/l
Kragbalken mit Einzelmasse am Ende Durchbiegung Masse des Pendelkörpers kers=3EI/l3, l=Länge des Balkens
Träger auf zwei Stützen mit mittiger Einzelmasse kers=48EI/l3, l=Länge des Balkens
Beidseitig fest eingespannter Träger mit mittiger Einzelmasse kers=192EI/l3, l=Länge des Balkens

Schaltung von Federn

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Die im vorangegangenen Abschnitt genannte Schwinger können in realen Systemen in mannigfacher Weise kombiniert auftreten. Dabei gilt:[6]:B37[1]:231

  • Werden Federn parallel geschaltet, addieren sich ihre Steifigkeiten zur Ersatzsteifigkeit .
  • Bei Reihen- oder Hintereinanderschaltung addieren sich ihre Kehrwerte, die auch Nachgiebigkeiten h genannt werden, zur Ersatznachgiebigkeit .

Massebehaftete Feder

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Wenn die Federmasse gegenüber der Masse des schwingenden Körpers nicht vernachlässigt werden darf, kann sie wie folgt näherungsweise berücksichtigt werden. Unter der Annahme, dass das eine Ende der Feder ruht und das andere Ende im Abstand l die Geschwindigkeit v der schwingenden Masse m hat, dann ist die kinetische Energie der Feder bei linearer Geschwindigkeitsverteilung über die Länge und Masse mF=μl der Feder mit konstanter Massenbelegung μ pro Längeneinheit:

In die Gesamtenergie des Schwingers geht nun die kinetische Energie der Einzelmasse plus einem drittel der Federmasse ein; diese ist demnach als (Ersatz-)Masse des Systems anzusetzen: mers=m+κmF mit κ=13.[2]:33 Beim Kragbalken ist κ=33140 und beim beidseitig aufliegenden Balken mit mittiger Masse ist κ=1735.[6]:B37

Der sich selbst überlassene Schwinger

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Der sich selbst überlassene Schwinger oszilliert mit einer eingeprägten Amplitude aber in einer ihm eigenen Geschwindigkeit, die von seiner Eigenkreisfrequenz bestimmt wird.

Um diese zu ermitteln, wird der Ansatz

mit Amplitude A, e-Funktion e···, Exponent λ und Zeit t in die #homogene Schwingungsgleichung (Bezeichnungen siehe dort) eingesetzt mit dem Ergebnis:[1]:240

Darin ist δ die Abklingkonstante. Vier Fälle sind zu unterscheiden:

  1. keine Dämpfung entsprechend δ=0 und D=0,
  2. schwache bis starke Dämpfung δ < ω0 entsprechend D < 1,
  3. sehr starke Dämpfung[8] δ > ω0 entsprechend D > 1, und
  4. kritische Dämpfung δ = ω0 entsprechend D = 1

Nur bei kritischer bis sehr starker Dämpfung ist der λ eine reelle Zahl, und die Bewegungsfunktion hat im Wesentlichen einen exponentiell abklingenden Verlauf. Im nicht bis stark gedämpften Schwinger ist λ eine komplexe Zahl und die eulersche Formel führt auf die Wellenfunktionen Sinus und Cosinus, die bei vorhandener Dämpfung eine abnehmende Amplitude besitzen.

Die in der Tabelle angegebenen Parameter ergeben sich aus einer Anfangsauslenkung x0 und einer Anfangsgeschwindigkeit v0.

Dämpfungsgrad D Bewegungsfunktion Parameter
Ohne Dämpfung

D=0[2]:32

Schwache bis starke Dämpfung[8]

D<1[2]:91f

Kritische Dämpfung

D=1[2]:98

Sehr starke Dämpfung[8]

D>1[2]:96

Im wichtigen Sonderfall der schwach bis stark gedämpften Schwingung (0 < D < 1) stellt sich eine quasiperiodische oder quasiharmonische Schwingung ein, deren Quasi-Periodendauer

oft auch ungenau „Schwingungsdauer des gedämpften Systems“ genannt wird. Die Schwingung besitzt die Einhüllende und das Verhältnis der Auslenkungen zu zwei Zeitpunkten im Abstand Td

wird Logarithmisches Dekrement genannt, das konstant ist: Die Schwingungsamplitude nimmt exponentiell mit der Zeit ab.

Einige Beziehungen zwischen den Kenngrößen der schwach gedämpften Schwingung sind in der Tabelle angegeben

δ θ Λ m,d,k
D=
ωd=

Andere Dämpfungsformen

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Bewegungsfunktion bei trockener Reibung

Bei Dämpfung durch trockene Reibung (Coulomb’sche Dämpfung)[2]:106ff[1]:236f ist die Reibungskraft R konstant, aber immer der Geschwindigkeit entgegengesetzt. Es müssen zwei Fälle unterschieden werden, wodurch das System nicht mehr linear ist und mit keiner analytischen Funktion darstellbar ist. Bei fehlender äußerer Erregung ergibt sich die #inhomogene Schwingungsgleichung

ohne geschwindigkeitsproportionale Dämpfung (δ=0) aber mit Krafterregung (F=±R). Die Lösung erfordert ebenfalls Fallunterscheidungen:

Die Konstanten C1,2 und D1,2 müssen den Anfangsbedingungen und den Übergangsbedingungen nach jeder Halbschwingung genügen. Bei jeder Halbschwingung nimmt die Amplitude um 2R/k – also linear mit der Zeit – ab, und spätestens[9] wenn die Amplitude R/k unterschreitet, tritt im Umkehrpunkt Haftreibung ein und bleibt die Masse dort stehen.

Lösung der inhomogenen Schwingungsgleichung

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Die Partikularlösung für die #inhomogene Schwingungsgleichung befriedigt . Wegen der Linearität der Differentialgleichung können zur Partikularlösung Lösungen der homogenen Schwingungsgleichung beliebig superponiert werden.

Bei vorhandener Dämpfung nimmt der homogene Lösungsanteil mit der Zeit immer mehr ab und es dominiert der durch eine Erregerkraft aufgeprägte partikuläre Anteil. Dann ist der Einschwingvorgang beendet.[1]:254

Im Folgenden wird das eingeschwungene System vorausgesetzt.

Komplexer Frequenzgang bei harmonischer Erregung

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In der Technik kommen harmonische Erregungen bei gleichförmig rotierenden Massen vor, die eine Unwucht besitzen. Im eingeschwungenen Zustand bewegt sich dann der Schwinger im Takt der Erregung mit nacheilender Antwort. Bei sehr langsamer Erregung vermag der Schwinger der Erregung zu folgen; er folgt nahezu in Phase. Im Resonanzfall eilt Antwort um 90° oder π2 nach und die Amplitude ist maximal. Reale Systeme gehen hier leicht kaputt, was als Resonanzkatastrophe bekannt ist, oder werden verstimmt, weil sich ihre Federkonstante ändert. Ferner ist in realen Systemen immer Dämpfung vorhanden. Alles zusammengenommen bewirkt, dass die Amplituden in realen Systemen begrenzt bleiben. Von Ausnahmefällen abgesehen (Schwingförderer und Siebmaschinen werden oft im Resonanzbetrieb gefahren) ist der Resonanzfall in technischen Systemen zu vermeiden.[2]:123 Bei weiter ansteigender Erregerfrequenz vermag der Schwinger der Erregung immer weniger zu folgen, die Amplitude nimmt ab, aber die Nacheilung wird größer bis der Schwinger in Gegenphase ist.

Dieses Verhalten kann elegant in der #Darstellung mit komplexen Zahlen nachgewiesen werden.[2]:140 Dazu wird die Erregung in der Form und der Ansatz in die #inhomogene Schwingungsgleichung eingesetzt:[1]:254

Der Faktor E berücksichtigt die Art der Erregung:[1]:254

E Erregung
Krafterregung oder Erregung über eine Feder
Erregung über einen Dämpfer
Erregung durch eine rotierende Unwucht

Division durch die Exponentialfunktion liefert umgestellt:

Die Polardarstellung des komplexen Frequenzgangs ist

Die Schwingungsantwort wird demnach betraglich um den Faktor V(η) skaliert und ist um den Winkel ζ(η) im Uhrzeigersinn phasenverschoben.[2]:142[1]:254 Die dimensionslose Vergrößerungsfunktion

wird auch Amplituden-Frequenzgang oder kurz Amplitudengang genannt. Im ungedämpften Fall (D=0) wächst er bei Erregung in der Eigenkreisfrequenz entsprechend η=1 über alle Grenzen. Die Bilder stellen die Vergrößerungsfunktionen in den drei Fällen graphisch dar.

Die stationären Punkte des Amplitudengangs liegen bei

E Stationärer Punkt Vergrößerungsfunktion
Phasengang bei erregter gedämpfter Schwingung

Der Phasengang oder Phasenfrequenzgang

ist gleich der negativen Argumentfunktion des komplexen Frequenzgangs und in allen betrachteten Fällen identisch. Er dreht die Phase immer im Uhrzeigersinn, sodass die Antwort der Erregung jedenfalls nacheilt. Die Tabelle enthält einige wichtige Werte.

η 0 1
φ(η) 0 π2 π

Periodische Erregung

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Jede periodische Funktion kann durch eine Fourier-Reihe dargestellt werden, die aus der Grundschwingung und ihren Harmonischen besteht. Der Schwinger antwortet dann auf jedes Glied der Reihe gemäß dem Amplituden- und Phasengang aus Abschnitt #Komplexer Frequenzgang bei harmonischer Erregung. Für praktische Anwendungen genügen bereits einige Reihenglieder, für eine gute Wiedergabe der Schwingungsantwort.[2]:122

Beliebige Erregung

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Betrachtet wird der ungedämpfte Fall, in dem die #inhomogene Schwingungsgleichung

lautet, wo auf der rechten Seite eine anregende Kraft steht. Ist eine Parikularlösung gefunden, die diese Gleichung erfüllt, können Bewegungsfunktionen beliebig addiert werden, die die #homogene Schwingungsgleichung befriedigen, bei der auf der rechten Seite eine Null steht. Die Parikularlösung ergibt sich hier aus dem Faltungsintegral[2]:115f

Denn die Kraft ist die Zeitableitung des Impulses p=m·v:

Die Bewegungsfunktion des homogenen Systems infolge der Anfangsbedingung x(t0)=0 und v(t0)=v0 ist

Das Geschwindigkeitsinkrement aufgrund des Kraftstoßes als „Anfangsgeschwindigkeit“ zur Zeit t0=τ eingesetzt, ergibt

Die Bewegungsfunktion infolge des Kraftverlaufs ergibt sich aus dem oben angegebenen Integral. Siehe auch Lineare gewöhnliche Differentialgleichung#Spezielle Verfahren zum Auffinden einer partikulären Lösung.

Schwingung diskreter Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

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Maschinen und deren Baugruppen lassen sich durch die Modellierung als Mehrkörpersystem oder die Finite-Elemente-Methode auf ein lineares Berechnungsmodell reduzieren. Oft reichen Berechnungsmodelle mit wenigen Freiheitsgraden aus, aber es werden auch Berechnungsmodelle mit millionen Freiheitsgraden benutzt. Mit der Anzahl der Freiheitsgrade steigt in jedem Fall der Rechenaufwand, aber nicht immer die Genauigkeit der Ergebnisse, die von der Güte der Eingabedaten und davon abhängt, ob die wesentlichen Einflussgrößen richtig erfasst werden. Man kann mit einem Modell mit wenigen Freiheitsgraden das reale Verhalten oft schon hinreichend genau beschreiben.[4]:371

Die wesentlichen Methoden und Analysen von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden lassen sich übersichtlich am System mit zwei Freiheitsgraden aufzeigen. Für mehrere Freiheitsgrade ist die Darstellung in Matrix-Schreibweise unverzichtbar.[2]:161ff.

Zwei-Massen-Schwinger

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Prinzipmodell eines Zwei-Massen-Schwingers.

Beim Zwei-Massen-Schwinger sind zwei Massen m1,2 mit je einer Feder k1,3 und einen Dämpfer d1,3 (im Bild c1,3) an festen Wänden und mit einer Feder k2 und einem Dämpfer d2 (im Bild c2) aneinander gekoppelt. Jede Masse hat einen eigenen Freiheitsgrad x1,2, weswegen das System auch mit zwei gekoppelten Schwingungsgleichungen beschrieben wird, die wie beim einfachen Schwinger aus Newtons zweitem Gesetz folgen:[2]:187ff

mit zwei im Bild nicht dargestellten Erregerkräften F1,2 an den Massen m1,2. Umgestellt ergibt sich

Mit den Matrizen[2]:193

Massenmatrix , Lösungsvektor ,
Steifigkeitsmatrix , Erregerkraft ,
Dämpfungsmatrix  

schreibt sich das kompakt als Matrizendifferentialgleichung

Hier ist die Massenmatrix eine Diagonalmatrix und die Steifigkeitsmatrix voll besetzt, was bei Federkopplung der Fall ist. Bei Massenkopplung hat die Steifigkeitsmatrix Diagonalgestalt und die Massenmatrix besitzt Nebendiagonalglieder.[2]:167 Kreiselwirkungen, wie sie bei rotierenden Wellen auftreten, bringen schiefsymmetrische Anteile in die Dämpfungsmatrix D ein; eine rein antisymmetrische Dämpfungsmatrix bewirkt daher keine Dämpfung[4]:464 Unter den Vorraussetzungen für den Satz von Betti sind die Matrizen – wie hier – symmetrisch, wovon im Folgenden auch ausgegangen wird.

Mit dem Ansatz mit konstantem Amplitudenvektor entsteht in Abwesenheit von Erregerkräften das Problem

Bei #Rayleigh-Dämpfung ist DMK und es entsteht nach

ein verallgemeinertes Eigenwertproblem. Dessen Spektralzerlegung liefert die Eigenwerte η und Moden des Systems. Wegen der Symmetrie der Matrizen sind die Eigenwerte reell, aber die Eigenkreisfrequenzen

können komplexe Werte annehmen.

Bei einer Erregerkraft mit konstantem Kraftamplitudenvektor wird der Ansatz eingesetzt mit der Konsequenz (j2=-1):[4]:470

Daraus berechnet sich die komplexe Amplitude

Hier ist H die komplexe Frequenzgangs­matrix, vgl. #Komplexer Frequenzgang bei harmonischer Erregung des einfachen Schwingers. Sie gibt zu einem komplexen Erregerkraftvektor die komplexe Antwort , der eine (reelle) Amplitude und ein Phasenwinkel gegenüber der Erregung zugeordnet werden kann. Der Verlauf über die Erregerfrequenz ist der Amplituden- bzw. Phasengang.

Für den zwei-Massen-Schwinger aus dem #Bild oben mit den Parametern aus der Tabelle sind der Amplituden- und Phasengang im Bild dargestellt.

Größe F1 F2 m1 m2 k1 k3 k2 α β
Dimension MLT−2 M MT−2 T−1 T
Zahlenwert 0 1 2 1 1 1 1 0 0,01
Amplituden- und Phasengang des zwei-Massen-Schwingers

Analysten erkennen hier:

einen Schwingungsmode bei Ω=0,8/s
Der Mode ist schwächer gedämpft als der nächste , weil die Spitzen höher und schärfer sind als beim anderen. Die Massen schwingen hier gleichsinnig, zu erkennen an den Phasenwinkeln φ1,2, die bei Ω=0,8/s gleich sind.
einen zweiten Mode bei Ω=1,54/s
Hier schwingen die Massen gegensinnig, denn die Phasenwinkel φ1,2 weisen eine Differenz von π auf.
eine Antiresonanz bei Ω=1/s
Hier wird die Erregerkraft an der Masse 2 durch die Masse 1 kompensiert, die gegensinnig zur Erregerkraft schwingt (mit Phasenwinkel ≈-π≘-180°). Die Masse 1 wirkt hier als Schwingungstilger.

Schwingungen der Kontinua

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Transversalschwingung Balkens

Wie im Abschnitt #Einteilung von Schwingungen und Grundbegriffe angedeutet kann ein Balken als ganzes Schwingbewegungen

ausführen. Flächentragwerke können ebenfalls Schwingungen ausführen.[6]:B42ff Kontinua besitzen theoretisch unendlich viele Eigenschwingungsformen, die in ihre Grundschwingung mit der niedrigsten Eigenkreisfrequenz und ihre Harmonischen eingeteilt werden. In Resonanzkörpern wird dies ausgenutzt.

Zur Aufstellung der Schwingungsgleichung werden die Verschiebungen infolge einer Streckenlast bzw. Flächenlast berechnet und diese dann als Ursache einer Beschleunigung aufgefasst.[10]:112 Die Längskoordinate ist x und eine Ableitung nach x wird mit einem Strich wie in u' angezeigt. Bei Tragwerken mit konstanten Eigenschaften über ihre Länge bzw. Fläche ergeben sich die Schwingungsgleichungen aus der Tabelle:

Art FHG Schwingungsgleichung
Stabwerke und Seile
Longitudinal Längung u
Transversal Durchbiegung w
Torsion Torsionswinkel φ
Saitenschwingung Auslenkung w
Flächentragwerke
Membranen Durchbiegung w(x,y)
Platten Durchbiegung w(x,y)

Darin is

Zeichen Bedeutung Dimension
l,h Länge, Dicke L
A Querschnitt L2
E Elastizitätsmodul ML−1T−2
ρ Dichte ML−3
I Flächenträgheitsmoment L4
J Massenträgheitsmoment ML2
It Torsionsflächenmoment 2. Grades, das bei kreis- oder kreisringförmigem Querschnitt gleich dem polaren Flächenträgheitsmoment Ip ist. L4
S1 Spannkraft MLT−2
μ Masse je Flächeneinheit ML−2
S2 Spannkraft pro Längeneinheit MT−2
𝚫 Laplace-Operator in der Ebene L−2
N Plattensteifigkeit ML2T−2

Die Lösung der Schwingungsgleichung erfolgt mit Trennung der Veränderlichen und dem Produktansatz für den Freiheitsgrad, beispielsweise u(x)=U(x)·T(t) in

Weil die linke Seite nur von der Zeit t und die rechte nur von der x-Koordinate abhängt, kann diese Gleichung auf der ganzen Länge und zu beliebigen Zeitpunkten nur stimmen, wenn die Brüche Konstanten ergeben:

Diese Differentialgleichungen sind genauso zu lösen wie beim ungedämpften Schwinger und benötigen jeweils zwei Anfangs- und Randbedingungen, siehe Navier-Cauchy-Gleichungen#Beispiel.

Bei der Transversalschwingung des Balkens und der Plattenschwingung treten vierte Ableitungen auf, wodurch die Gleichungen auch von Hyperbelfunktionen erfüllt werden. Hier werden zwei Anfangs- und vier Randbedingungen für die eindeutige Lösung benötigt.[10]:111f

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  1. a b c d e f g h i j k l m D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. A. Wall: Technische Mechanik 3. Kinetik. 11. Auflage. Springer Vieweg Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-11263-8, doi:10.1007/978-3-642-11264-5 (Hierauf beziehen sich die Seitenangaben im Text). Eine neuere Auflage ist: D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. A. Wall: Technische Mechanik 3. Kinetik. 15. Auflage. Springer Vieweg Verlag, Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-63064-8, S. 61, doi:10.1007/978-3-662-63065-5 (Bewegung eines Massenpunktes).
  2. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa ab ac H. Jäger, R. Mastel, M. Knaebel: Technische Schwingungslehre. Grundlagen - Modellbildung - Anwendungen. Springer Vieweg, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-13792-2, doi:10.1007/978-3-658-13793-9 (Hierauf beziehen sich die Seitenangaben im Text).
  3. P. Hagedorn, S. Otterbein: Technische Schwingungslehre. Lineare Schwingungen diskreter mechanische Systeme. Springer, Berlin, Heidelberg 1987, ISBN 978-3-540-18096-8, doi:10.1007/978-3-642-83164-5.
  4. a b c d e f g h i H. Dresig, F. Holzweißig: Maschinendynamik. 12. Auflage. Springer-Vieweg, 2016, ISBN 978-3-662-52712-2, doi:10.1007/978-3-662-52713-9.
  5. a b c d e M. Jaeger, M. Franck, K. Hameyer: Die Messung und Berechnung modaler Dämpfungen als Näherungsbeschreibung realer Systeme. In: Elektrotechnik und Informationstechnik. Band 139, 2022, S. 195–203, doi:10.1007/s00502-022-01009-0 (springer.com).
  6. a b c d Karl-Heinrich Grote, Jörg Feldhusen (Hrsg.): Dubbel. Taschenbuch für den Maschinenbau. 25. Auflage. Springer Vieweg Verlag, Berlin, Heidelberg 2019, ISBN 978-3-662-54804-2, S. B36 ff., doi:10.1007/978-3-662-54805-9.
  7. Rollschwinger
    Der Rollschwinger ist ein zylindrischer Körper (grau im Bild, Masse m, Drehmasse bezogen auf die Schwerachse J) der auf einer horizontalen Ebene in x-Richtung î hin- und herrollen kann, und dabei von einer im Schwerpunkt angreifenden Feder k gehalten wird. Der Momentanpol liegt im Aufstandspunkt, um den der Zylinder nach dem steinerschen Satz das Massenträgheitsmoment JM=J+mr2 besitzt. Die Rollbedingung x = θ·r und der Drallsatz um den Aufstandspunkt liefern

    Hieraus identifizieren sich die Ersatzgrößen für den Einfachen Schwinger zu

    siehe H. Jäger, R. Mastel, M. Knaebel (2016), S.35f.

  8. a b c Systeme mit Dämpfungsgrad D>1 werden in der (alten) Norm DIN 1311-2 von 1974 als „stark gedämpft“ bezeichnet. Die neue DIN-Bezeichnung ist „sehr stark gedämpft,“ siehe Jäger, Mastel, Knaebel (2016), S. 96.
  9. Im Umkehrpunkt bleibt die Masse stehen und es tritt Haftreibung ein. Der Körper setzt sich nur dann wieder in Bewegung, wenn die Federkraft die Haftreibungskraft überwindet, die oft stärker ist als die Reibkraft bei Gleitreibung, siehe Gross, Hauger, Schröder, Wall (2010), S.239, und Reibungskoeffizient#Beispiele.
  10. a b H. Balke: Einführung in die Technische Mechanik. Festigkeitslehre. 3. Auflage. Springer-Vieweg, 2014, ISBN 978-3-642-40980-6, doi:10.1007/978-3-642-40981-3.