Laplace-Formel
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Pierre-Simon_Laplace.jpg/170px-Pierre-Simon_Laplace.jpg)
Die Laplace-Formel ist eine mathematische Formel aus der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hat ein Zufallsexperiment nur endlich viele Elementarereignisse und haben diese alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, so gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses :
oder formeller
- ,
wenn und die Anzahl der Elemente des Ereignisses bzw. der Ergebnismenge bezeichnen.
Benannt ist die Formel nach dem französischen Mathematiker und Astronomen Pierre Simon Laplace (1749–1827).
Beispiele und Gegenbeispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/13-02-27-spielbank-wiesbaden-by-RalfR-093.jpg/170px-13-02-27-spielbank-wiesbaden-by-RalfR-093.jpg)
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Urn_problem_qtl1.svg/170px-Urn_problem_qtl1.svg.png)
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/W%C3%BCrfel_--_2021_--_4262.jpg/170px-W%C3%BCrfel_--_2021_--_4262.jpg)
Roulette
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Beim Roulette wird eine der 37 Zahlen 0 bis 36 ausgespielt. Hierbei soll aufgrund der Beschaffenheit des Roulette-Tellers und der Vorgehensweise bei den Ausspielungen gewährleistet sein, dass die Roulette-Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit auf jeder der 37 Zahlen liegen bleibt. Unter diesen Voraussetzungen wird jede der 37 Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit ausgespielt.
Ziehen aus einer Urne
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Beim einfachen zufälligen Ziehen aus einer Urne mit gleichartigen nicht unterscheidbaren Kugeln wird jede Kugel mit der Wahrscheinlichkeit gezogen.
Doppelwurf eines Spielwürfels
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Beim zweimaligen Werfen eines Spielwürfels gibt es 36 mögliche Ergebnisse für die Augenzahlkombinationen
- .
Gleichwahrscheinliche Ereignisse
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ist der Spielwürfel ein Laplace-Würfel, so beträgt bei vier Ergebnissen die Augensumme 9, nämlich bei (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), wobei alle Würfe mit der Augenzahl 9 gleich wahrscheinlich sind. Deshalb ist
die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses , die Augensumme 9 zu erhalten.
Nicht gleichwahrscheinliche Ereignisse
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Auch wenn es sich bei dem Spielwürfel um einen Laplace-Würfel handelt, sind die elf Ereignisse des Auftretens der Augensummen 2 bis 12 nicht gleich wahrscheinlich. Darüber hinaus ist es bei diesem Experiment unmöglich, gleichwahrscheinliche Augensummen durch Würfelmanipulation zu erreichen.[1]
Es sei die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem ersten Würfel die Augenzahl und die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem zweiten Würfel die Augenzahl geworfen wird. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 2 und die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 12.
Wären alle elf Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 2 bis 12 identisch, so müsste jede dieser Wahrscheinlichkeiten betragen.
Für die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 7 würde dann gelten:
- (*)
Wegen für alle reellen Zahlen ergibt sich ein Widerspruch zu (*).
Damit ist bewiesen, dass die Augensummen 2 bis 12 niemals gleich wahrscheinlich sein können.Geschlecht eines neugeborenen Kindes
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Statistisch ist nachgewiesen, dass Knaben- und Mädchengeburten nur annähernd gleich wahrscheinlich sind, wenn auch in vielen stochastischen Aufgabenstellungen Gleichwahrscheinlichkeit angenommen wird.[2]
Siehe auch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 130 und 131
- ↑ Karl Bosch: Statistik für Nichtstatistiker - Zufall und Wahrscheinlichkeit R. Oldenbourg Verlag München Wien 2007, ISBN 978-3-486-58219-2, S. 16–21