R-Matrix
In der statistischen Physik werden Matrizen , welche der Yang-Baxter-Gleichung (nach C. N. Yang[1] und Rodney Baxter[2]):
genügen, als R-Matrizen bezeichnet.
In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.
Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten
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Eine -Matrix mit Einträgen kann als Endomorphismus des mit Basis aufgefasst werden, also
- .
Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als
- ,
wobei der Endomorphismus von ist, der auf den Faktoren als wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also
und
- .
R-Matrizen in der Quantenmechanik
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.
R-Matrizen in der Knotentheorie
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Yang-Baxter equation. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
- J. Park, H. Au-Yang: Yang-Baxter equations. In: J.-P. Françoise, G.L. Naber, Tsou S.T. (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematical Physics. Volume 5, Elsevier, Oxford 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 465–473.
- M. Jimbo: Quantum R matrix for the generalized Toda system. In: Comm. Math. Phys. 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547, doi:10.1007/BF01221646.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with delta-function interaction, Phys. Rev. Lett., Band 19, 1967, S. 1312–1314, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1312
- ↑ Baxter, Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice, Phil. Trans. Royal Soc., Band 289, 1978, S. 315–346, doi:10.1098/rsta.1978.0062, JSTOR:75051