Die Spin-Gruppe ist ein Objekt aus der Mathematik und Physik, insbesondere aus den Bereichen der Spektralgeometrie und Quantenmechanik. Eine zentrale Eigenschaft der Spin-Gruppe
ist, dass sie eine 2-fache Überlagerung der Drehgruppe
ist.
Zu einem endlichdimensionalen Vektorraum
über einem Körper
und einer quadratischen Form
auf
definiert man die Clifford-Algebra
als die Algebra über
, die von
und dem Einselement
erzeugt wird und deren Multiplikation die Relation
![{\displaystyle v\cdot v=-Q(v)1_{Cl}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4d0e99d108db86d5ed952d036f0031f579a554)
erfüllt. Durch diese Beziehung ist die Clifford-Algebra bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Die Spin-Gruppe zu dieser quadratischen Form ist dann definiert als Untergruppe der Produkte einer geraden Anzahl von Einheitsvektoren
.
Die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form
![{\displaystyle Q=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e5d23b23cf07747510d0903d904b05d511903c)
auf dem
-Vektorraum
wird kurz als
bezeichnet.
Für
bezeichnet man mit
die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form
![{\displaystyle Q=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b3918fc5722396424075fa7b39d10ec15f8ecc)
auf dem
-Vektorraum
.
Für
hat man die folgenden Isomorphismen zu klassischen Lie-Gruppen:
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\cong S^{1}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29a027002cbb1f777a01c2f169261c87d389084)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81983617e72f4d90794f29b502212768fa0782a2)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae136c7ffded5c8d0f60e55c32444517978fcf7)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {Sp} (2)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfb4358c1e5cd7b0072fd30cc427560ada4afcd)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d87b83d1741db6400a7e2eec25574593d546517)
Satz:
ist eine zweifache Überlagerung der
.
Beweisskizze: In der Clifford-Algebra
gilt
für alle
mit
. Die Abbildung
![{\displaystyle x\mapsto -vxv^{-1}=vxv=x-2q(x,v)v}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84624a8a0932325f9b18c464162dabc21ebc2f09)
ist eine Spiegelung des
und sie ist kompatibel mit Produkten, definiert also eine Darstellung
.
Weil jedes Element aus
Produkt einer geraden Anzahl von Spiegelungen ist, erhält man eine surjektive Abbildung, von der man zeigen kann, dass sie eine Überlagerung ist.
Der Kern besteht nur aus
, denn Elemente im Kern müssen mit allen
kommutieren, also zum Zentrum der Clifford-Algebra gehören, welches aber nur aus skalaren Vielfachen von
besteht.
sind die einzigen zu
gehörenden skalaren Vielfachen von
, wie man mittels der in
gültigen Formel
sieht, aus der für Vielfache von
folgt, dass ihr Quadrat
ist.
Für
ist
einfach zusammenhängend und die universelle Überlagerung von
.
Analog ist
eine zweifache Überlagerung von
, der Zusammenhangskomponente der Eins von
. Für
ist
zusammenhängend, dagegen hat
zwei Zusammenhangskomponenten.
Die Lie-Algebra
von
ist der von den Produkten
mit
aufgespannte Unterraum von
.
Die Überlagerung
induziert einen Isomorphismus zur Lie-Algebra
der schiefsymmetrischen Matrizen mit Spur
. Dabei entspricht
der schiefsymmetrischen Matrix mit Einträgen
.
Durch den Homomorphismus
werden alle Darstellungen von
auch zu Darstellungen von
. Das sind zunächst die Standard-Darstellung von
auf
und weiter die induzierten Darstellungen auf den äußeren Algebren
für
Darüber hinaus gibt es noch für ungerade
die Spinor-Darstellung und gerade
die beiden Halbspinor-Darstellungen von
, welche sich nicht als Darstellungen von
faktorisieren lassen. Zusammen mit den zuvorgenannten erhält man so alle Fundamentaldarstellungen von
.