Loka ringo

En algebro, loka ringo estas komuta ringo kun unika maksimuma idealo. En algebra geometrio, loka ringo priskribas la "ĉirkaŭaĵon" de unu punkto (la unika maksimuma idealo).

Komuta ringo ${\displaystyle R}$ estas loka, se ĝi plenumas unu el la jenaj ekvivalentaj aksiomoj:

• ${\displaystyle R}$ havas unikan maksimuman idealon.
• ${\displaystyle 1\neq 0}$, kaj la sumo de du neinversigeblaj elementoj estas neinversigebla.
• ${\displaystyle 1\neq 0}$, kaj se ${\displaystyle x}$ estas ajna elemento, tiam aŭ ${\displaystyle x}$ aŭ ${\displaystyle 1-x}$ (aŭ ambaŭ) estas inversigebla.
• Por nenegativa entjero ${\displaystyle n}$, se ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}$ estas inversigebla, tiam ekzistas tia ${\displaystyle i}$, ke ${\displaystyle x_{i}}$ estas inversigebla. (En la speciala kazo ${\displaystyle n=0}$ tio signifas, ke la tiel nomata nul-sumo 0 ne povas esti inversigebla, t.e. 1 ≠ 0.)

Ĉiu komuta korpo estas loka ringo: la unika maksimuma idealo estas (0).

La ringo de formalaj potencoserioj ${\displaystyle \mathbb {C} [[x]]}$ estas loka ringo: la unika maksimuma idealo estas ${\displaystyle (x)}$.

La triviala ringo ${\displaystyle \{0\}}$ ne estas loka ringo; ĝi havas neniun maksimuman idealon.

La ringo de polinomoj ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$ ne estas loka ringo; ĝi havas plurajn maksimumajn idealojn.

• Eric W. Weisstein, Local ring en MathWorld.