Coordenadas elípticas
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Elliptical_coordinates_grid.svg/352px-Elliptical_coordinates_grid.svg.png)
Las coordenadas elípticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonales en los que las líneas coordenadas son elipses confocales e hipérbolas. Los dos focos y están generalmente fijos en las posiciones y , respectivamente, sobre el eje de un sistema cartesiano cuyos ejes son ejes de simetría de las líneas coordenadas hiperbólicas y elípticas.
Las coordenadas elípticas cilíndricas son un sistema tridimensional obtenido haciendo rotar el sistema anterior alrededor del eje de focos y añadiendo una coordenada angular polar adicional.
Relación con Coordenadas Cartesianas
[editar]Para un espacio lR2
La transformación a coordenadas elípticas es un cambio en lR2 que viene dado por (x,y) = Φ (r,φ) donde:[1]
- Φ: lR2 → lR2
- (r,φ) → Φ (r,φ) = (ar cosφ, br sinφ)
donde a y b son constantes. Entonces:
- x = a r cosφ
- y = b r sinφ
Se puede apreciar que la transformación a elípticas no es más que la composición una transformación a polares seguida de una dilatación por un factor a según el eje x y por un factor b según el eje y. Por ello, es inyectiva en el mismo conjunto que la transformación a polares, es decir, en (0,∞) x [0,2π)
El jacobiano de la transformación es:
- J Φ (r,φ) = abr
- dA = J Φ (r,φ) dr dφ = abr dr dφ
En un espacio lR3
Se define el sistema de coordenadas elipsoidales (x,y,z) = Φ (r,θ,φ) mediante las siguientes coordenadas de transformación:[2]
- x = a r sinφ cosθ
- y = b r sinφ sinθ
- z = c r cosφ
El volumen de un elemento en coordenadas elipsoidales equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales, y el Jacobiano es la fracción de las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas por las derivadas parciales de las coordenadas elípticas, por lo que:
- J Φ (r,φ,θ) = d(x,y,x)/d(r,φ,θ) = abc r2 cos2φsinφ + abc r2 sin3φ = abc r2 sinφ(cos2φ + sin2φ) = abc r2 sinφ
Por lo tanto:
- dV = J Φ (r,φ,θ) = abc r2 sinφ dr dφ dθ
Definición
[editar]La definición más común de las coordenadas elípticas bidimensionales es:
Donde:
- es un número real no negativo y
- .
En el plano complejo, existe una relación equivalente dada por:
Estas definiciones corresponde a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica:
muestra que las curvas con constante son elipses, mientras que la identidad trigonométrica hiperbólica:
muestra que las curvas con constante son hipérbolas.
Aplicaciones
[editar]Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas son resolución de ecuaciones en derivadas parciales como la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las que las coordenadas elípticas admiten separación de variables. Un ejemplo típico es la carga eléctrica que rodea a un conductor plano de anchura 2a. O el campo de dos cargas eléctricas puntuales del mismo signo a una distancia 2a.