Ir al contenido

Coordenadas elípticas

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Sistema de coordenadas elípticas.

Las coordenadas elípticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonales en los que las líneas coordenadas son elipses confocales e hipérbolas. Los dos focos y están generalmente fijos en las posiciones y , respectivamente, sobre el eje de un sistema cartesiano cuyos ejes son ejes de simetría de las líneas coordenadas hiperbólicas y elípticas.

Las coordenadas elípticas cilíndricas son un sistema tridimensional obtenido haciendo rotar el sistema anterior alrededor del eje de focos y añadiendo una coordenada angular polar adicional.

Relación con Coordenadas Cartesianas

[editar]

Para un espacio lR2
La transformación a coordenadas elípticas es un cambio en lR2 que viene dado por (x,y) = Φ (r,φ) donde:[1]

Φ: lR2 → lR2
(r,φ) → Φ (r,φ) = (ar cosφ, br sinφ)

donde a y b son constantes. Entonces:

x = a r cosφ
y = b r sinφ


Se puede apreciar que la transformación a elípticas no es más que la composición una transformación a polares seguida de una dilatación por un factor a según el eje x y por un factor b según el eje y. Por ello, es inyectiva en el mismo conjunto que la transformación a polares, es decir, en (0,∞) x [0,2π)

El jacobiano de la transformación es:

J Φ (r,φ) = abr

dA = J Φ (r,φ) dr dφ = abr dr dφ

En un espacio lR3
Se define el sistema de coordenadas elipsoidales (x,y,z) = Φ (r,θ,φ) mediante las siguientes coordenadas de transformación:[2]

x = a r sinφ cosθ
y = b r sinφ sinθ
z = c r cosφ


El volumen de un elemento en coordenadas elipsoidales equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales, y el Jacobiano es la fracción de las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas por las derivadas parciales de las coordenadas elípticas, por lo que:

J Φ (r,φ,θ) = d(x,y,x)/d(r,φ,θ) = abc r2 cos2φsinφ + abc r2 sin3φ = abc r2 sinφ(cos2φ + sin2φ) = abc r2 sinφ

Por lo tanto:

dV = J Φ (r,φ,θ) = abc r2 sinφ dr dφ dθ

Definición

[editar]

La definición más común de las coordenadas elípticas bidimensionales es:

Donde:

es un número real no negativo y
.

En el plano complejo, existe una relación equivalente dada por:

Estas definiciones corresponde a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica:

muestra que las curvas con constante son elipses, mientras que la identidad trigonométrica hiperbólica:

muestra que las curvas con constante son hipérbolas.

Aplicaciones

[editar]

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas son resolución de ecuaciones en derivadas parciales como la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las que las coordenadas elípticas admiten separación de variables. Un ejemplo típico es la carga eléctrica que rodea a un conductor plano de anchura 2a. O el campo de dos cargas eléctricas puntuales del mismo signo a una distancia 2a.

Véase también

[editar]

Referencias

[editar]