Criterio del cociente
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Jean_d%27Alembert.jpeg/220px-Jean_d%27Alembert.jpeg)
El criterio del cociente o criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de esta.
Definiendo con a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos respectivamente y a los límites superior e inferior de la sucesión se obtienen cada uno de los siguientes casos:
- Si converge.
- Si diverge.
- Si , el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.
En el caso particular de que dicha sucesión sea convergente tendremos entonces que , siendo el límite de la sucesión, por lo que el estudio se puede simplificar a los siguientes casos:
- Si converge.
- Si diverge.
- Si , el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.
Formalización del método
[editar]El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:
Sea:
Tal que:
- (o sea una sucesión de términos positivos) y
- tienda a cero cuando tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)
Se procede de la siguiente manera:
De las dos condiciones anteriores tenemos que la sucesión está acotada
1) Si además de acotada, dicha sucesión es convergente calculamos:
Así obtenemos y se clasifica de la siguiente manera:
- la serie converge
- la serie diverge
- el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.
2) Si la sucesión no es convergente, como sucesión acotada que es, tendrá límites superior e inferior finitos.
Ahora bien habrá que calcularlos y proceder a aplicar el criterio más general:
Con y se clasifica de la siguiente manera:
- Si , la serie converge.
- Si , la serie diverge.
- Si , el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.
Ejemplo
[editar]Si , clasificar .
- a)
- b) tiende a cero conforme crece (porque el factorial crece más rápidamente que n+1)
y como , la serie converge.
Véase también
[editar]Enlaces externos
[editar]- Weisstein, Eric W. «Ratio Test». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Ratio Test en PlanetMath.