Una función se llama implícita cuando está definida mediante una ecuación de la forma
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de
entre las variables x e y:
![{\displaystyle y^{3}+y^{2}+5xy+x^{2}+x+y=0\,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c747e73f160d8b54a83f9a31ac1d12e9161acf)
Para derivar una función implícita se usa la regla de la cadena; en el caso de la variable independiente, sin dificultad alguna, se deriva directamente; al derivar la variable dependiente se la considera como una función que a su vez depende de la variable independiente:
Dada una función
, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x:
.
Si consideramos
es una función en términos de la variable independiente x y
es una función en términos de la variable dependiente y, dado que
, entonces para obtener la derivada:
![{\displaystyle D_{x}\left(G\left(y\right)\right)=D_{x}\left(G\left(f\left(x\right)\right)\right)=G'\left(f\left(x\right)\right)\left(f'\left(x\right)\right)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262e85e12aa42b8d513f9a6ebce1fe6e8d555a51)
Obtener la derivada de:
![{\displaystyle 6x^{2}y+5y^{3}+3x^{2}=12-x^{2}y^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2da2d2fd33a4cbc6126911705f162d5182b5cd)
El término
se puede considerar que son dos funciones,
y
por lo que se derivará como un producto:
![{\displaystyle D_{x}\left(6x^{2}y\right)=\left(12x\right)\cdot y+\left(6x^{2}\right)\cdot \left({\frac {dy}{dx}}\right)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c687a8f7caaa620e78ccb7172386e344c2429408)
El término
se deriva como:
![{\displaystyle D_{x}\left(5y^{3}\right)=15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8869f901e5c8e180a94ed3defe0f22d592edd4)
El término
se deriva de forma normal como:
![{\displaystyle D_{x}\left(3x^{2}\right)=6x\,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556f8a4b1c6357c519d7852aa50780034afb85f8)
El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
![{\displaystyle D_{x}\left(12\right)=0\,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428bf787a204c774176b9b5603c18da20aa20c90)
El término
se puede considerar como un producto y se deriva como:
![{\displaystyle D_{x}\left(x^{2}y^{2}\right)=2xy^{2}+x^{2}\cdot \left(2y\cdot {\frac {dy}{dx}}\right)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e67a2cf2ba1405a765660b4f2063c5c0d73f1ff)
Al unir todos los términos se obtiene:
![{\displaystyle 12xy+6x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+6x=-2xy^{2}-2x^{2}y\cdot {\frac {dy}{dx}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a419c9e6397c5aebcb2e7f171145bc5d1459cbd5)
Ordenando:
![{\displaystyle 6x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+2x^{2}y\cdot {\frac {dy}{dx}}=-12xy-6x-2xy^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071affd5c708d56aa85da4ba8a4d178fbf74b26e)
Factorizando respecto a (
) los valores son:
![{\displaystyle \left(6x^{2}+15y^{2}+2x^{2}y\right)\cdot {\frac {dy}{dx}}=-\left(12xy+6x+2xy^{2}\right)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f15fdb715b9d97c4eca53df747a0d7241f3df31)
Finalmente despejando
se obtiene la derivada de la función implícita:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {12xy+6x+2xy^{2}}{6x^{2}+15y^{2}+2x^{2}y}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11de6bd8e7cf78eb33045c22d5b466397d729f82)
- John B. FRALEIGH. Cálculo con geometría analítica. Fondo Educativo Interamericano, S.A. México D.F., 1984 ISBN 968-50-0127-8