Mine sisu juurde

Isomeetria

Allikas: Vikipeedia
 See artikkel räägib punktidevahelisi kaugusi säilitavatest kujutustest; Riemanni geomeetria mõiste kohta vaata artiklit Isomeetria (Riemanni geomeetria); värsiõpetuse mõiste kohta vaata artiklit Isomeetria (värsiõpetus)

Isomeetria on kujutus ühest meetrilisest ruumist teise, mis säilitab meetrika (punktidevahelised kaugused). See tähendab, et kujutispunktide vaheline kaugus on võrdne lähtepunktide vaheliste kaugustega.

Definitsioon

[muuda | muuda lähteteksti]

Kui on antud kaks meetrilist ruumi ja ning on kujutus omadusega

kõikide korral, siis kujutust nimetatakse isomeetriaks ruumist ruumi .

Selline kujutus on alati injektsioon. Kui on isegi bijekrsioon, siis kujutist nimetatakse isomeetriliseks isomorfismiks ning niisuguse kujutuse olemasolu korral nimetatakse ruume ja isomeetriliselt isomorfseteks.

Erijuhtumid

[muuda | muuda lähteteksti]

Normeeritud ruumid

[muuda | muuda lähteteksti]

Normeeritud ruumis ehk normeeritud vektorruumis on kahe vektori vaheline kaugus defineeritud vahevektori norm]na:

.

Kui ja on kaks normeeritud ruumi normidega ja ning on lineaarkujutus, siis see kujutus on lineaarne isomeetria parajasti siis, kui ta säilitab normi, st kui kõikide korral kehtib

.

Ilma lineaarsuse eelduseta kehtib:

Kui isomeetria kujutab nullvektori nullvektoriks, siis ta on lineaarkujutus.

Skalaarkorrutisega vektorruumid

[muuda | muuda lähteteksti]

Kui on skalaarkorrutisega vektorruum (skalaarkorrutisruum), siis vektori indutseeritud norm ehk skalaarkorrutisnorm (pikkus) on defineeritud ruutjuurena vektori skalaarkorrutisest iseendaga. Kahe vektori ja vaheline kaugus avaldub siis nii:

,

kus skalaarkorrutis on tähistatud kolmnurksulgudega.

Kui ja on vektorruumid skalaarkorrutistega ja ning on lineaarkujutus, siis see kujutus on lineaarne isomeetria parajasti siis, kui ta säilitab skalaarkorrutise, st

kõikide korral.

Selliseid kujutusi nimetatakse juhul, kui vektorruum on üle reaalarvude korpuse, ka ortogonaalseteks kujutusteks, ja juhul, kui vektorruum on üle kompleksarvude korpuse, unitaarseteks kujutusteks. Reaalarvude juhtumil ei ole seejuures tarvis eeldada, et kujutis on lineaarne, sest iga isomeetria, mis kujutab nullvektori nullvektoriks, on sel juhtumil lineaarne.

Kui on ruumi ortonormeeritud baas, siis lineaarkujutus on isomeetria parajasti siis, kui on ortonormeeritud süsteem ruumis .

Eukleidilise vektorruumi kõik lineaarsed isomeetriad iseendasse moodustavad rühma, mida nimetatakse selle ruumi ortogonaalseks rühmaks. Unitaarse vektorruumi kõik lineaarsed isomeetriad iseendasse moodustavad rühma, mida nimetatakse selle ruumi unitaarseks rühmaks.

Eukleidiline punktiruum

[muuda | muuda lähteteksti]
 Pikemalt artiklis Liikumine (matemaatika)

Iga isomeetria eukleidiliselt punktiruumilt eukleidilisele punktiruumile on afiinne kujutus. Seda saab esitada kujul

kõikide

korral, kusjuures on lineaarne isomeetria vastavast eukleidilisest vektorruumist vastavasse eukleidilisse vektorruumi .

Ümberpöördult, iga kujutus, mida saab nii esitada, on isomeetria.

Eukleidilise punktiruumi isomeetriaid isendasse nimetatakse ka liikumisteks.

  1. Stanisław Mazur, Stanisław Ulam. Sur les transformationes isométriques d'espaces vectoriels normés. – C. R. Acad. Sci. Paris, 1932, kd 194, lk 946–948.