Homografia
Homografia eli projektiivinen muunnos on projektiivisessa geometriassa projektiivisten avaruuksien välinen isomorfismi, jonka indusoivat niiden vektoriavaruuksien välinen isomorfismi, josta ne on johdettu.[1] Se on bijektio, jossa suorat kuvautuvat suoriksi ja näin ollen kollineaatio. Joissakin projektiivisissa avaruuksissa voi olla myös kollineaatioita, jotka eivät ole homografioita, mutta projektiivisen geometrian peruslauseen mukaan vähintään kaksiulotteisissa reaalisissa projektiivisissa avaruuksissa jokainen kollineaatio on samalla homografia. Joskus homografioista käytetään myös nimityksiä projektiviteetti tai projektiivinen kollineaatio.
Historiallisesti homografiat samoin kuin projektiiviset avaruudetkin on otettu käyttöön perspektiiviopin ja euklidisen geometrian projektioiden yhteydessä. Tähän viittaa myös nimitys homografia, joka etymologisesti merkitsee suunnilleen "samanlaista piirtämistä". Myöhemmin 1800-luvun lopulla otettiin käyttöön muodolliset projektiivisten avaruuksien määritelmät, joiden mukaan nämä avaruudet erosivat euklidisista ja affiineista avaruuksista siinä, että niihin oli lisätty äärettömyydessä olevia pisteitä. Näiden abstraktien konstruktioiden myötä otettiin käyttöön termi "projektiivinen muunnos". Nämä konstruktiot jakautuvat kahteen luokkaan, jotka on osoitettu ekvivalenteiksi. Projektiivinen avaruus voidaan konstruoida suorien joukkona jonkin kunnan yli muodostetussa vektoriavaruudessa; tähän konstruktioon perustuen voidaan määritellä projektiiviset koordinaatit, ja homografioiden tutkimukseen voidaan soveltaa lineaarialgebraa. Vaihtoehtoinen lähestymistapa perustuu siihen, että projektiivinen avaruus määritellään aksioomaryhmän avulla, jossa ei eksplisiittisesti viitata mihinkään kuntaan (insidenssigeometria). Tältä pohjalta kollineaatio on helpompi määritellä kuin homografia, ja homografia määritellään tietyntyyppisenä kollineaationa, minkä vuoksi sitä sanotaankin myös "projektiiviseksi kollineaatioksi".
Yksinkertaisuuden vuoksi jäljempänä tässä artikkelissa oletetaan, paitsi milloin toisin mainitaan, että projektiiviset avaruudet on määritelty jonkin (kommutatiivisen) kunnan yli. Oletetaan myös, että Pappuksen kuusikulmiolause ja Desarguesin lause pätevät. Suuri osa tuloksista kuitenkin pätee tai voidaan yleistää myös sellaisiin projektiivisiin geometrioihin, joissa nämä lauseet eivät päde.
Geometrinen tausta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Projection_geometry.svg/300px-Projection_geometry.svg.png)
Historiallisesti homografian käsite on otettu käyttöön visuaalisen perspektiivin ymmärtämiseksi, selittämiseksi ja tutkimiseksi ja erityisesti sen selvittämiseksi, millä tavoin kaksi tasokuviota näyttävät erilaisilta eri näkökulmista katsottuina.
Kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa keskeisprojektio pisteestä O (keskuksesta) tasolle P, johon piste O ei sisälly, on kuvaus, jolla piste A kuvataan tason P ja suoran OA leikkauspisteeseen, jos sellainen on olemassa. Projektio ei ole määritelty, jos piste A sijaitsee O:n kautta kulkevalla, P:n kanssa yhdensuuntaisella tasolla. Projektiivisen avaruuden käsite otettiin alun perin käyttöön euklidisen avaruuden laajennuksena lisäämällä siihen äärettömyydessä olevat pisteet, jotta projektio voidaan määritellä kaikille muille pisteille paitsi O:lle.
Jos on annettu toinen taso Q, johon piste O ei sisälly, Q:n rajoittumaa edellä mainitussa projektiossa sanotaan perspektiviteetiksi.
Näin määriteltynä perspektiviteetti on vain osittaisfunktio, mutta projektiivisiin avaruuksiin laajennettuna siitä tulee bijektio. Siksi tämä käsite määritellään tavallisimmin projektiivisille avaruuksille. Käsite voidaan seuraavasti myös helposti yleistää jokaiselle projektiiviselle avaruudelle, olipa sen ulottuvuus mikä tahansa tai olipa se muodostettu minkä tahansa kunnan yli: jos on annettu kaksi n-ulotteista projektiivista avaruutta P ja Q, perspektiviteetti on bijektio P:stä Q:lle, joka saadaan upottamalla P ja Q n+1 -ulotteiseen projektiiviseen avaruuteen R ja rajoittamalla P:hen jokin keskeisprojektio Q:hun.
Jos f on perspektiviteetti P:stä Q:hun ja g perspektiiviteetti Q:sta P:hen, niin yhdistetty kuvaus g°f on homografia P:stä itseensä. Sitä sanotaan keskeiskollineaatioksi, kun P on vähintään kaksiulotteinen.
Alun perin homografia määriteltiin yhdistelmäksi äärellisestä määrästä perspektiviteettejä. [2] Projektiivisen geometrian peruslauseesta seuraa, että tämä määritelmä on yhtäpitävä johdannossa esitetyn ja jäljempänä yksityiskohtaisemmin käsitellyn algebrallisemman määritelmän kanssa.
Määritelmä ja esitys homogeenisilla koordinaateilla
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]n-ulotteinen projektiivinen avaruus kunnan K yli voidaan määritellä suorien joukoksi n+1 -ulotteisessa vektoriavaruudessa, jonka kerroinkunta on K. Jos V:n kanta on kiinnitetty, jokainen V:n piste voidaan esittää Kn+1:n pisteenä . Koska P(V):n piste on V:n suora, se voidaan esittää minkä tahansa tämän suoran pisteen koordinaateilla, origoa lukuun ottamatta, ja näitä sanotaan projektiivisen avaruuden pisteen homogeenisiksi koordinaateiksi.
Jos on annettu kaksi yhtä moniulotteista projektiivista P(V) ja P(W), homografia on vektoriavaruuksien välisen isomorfismin indusoima kuvaus P('V):sta P(W):hen. Koska f on lineaarinen, tällainen isomorfismi indusoi bijektion P('V):sta P(W):hen. Kaksi isomorfismia, f ja g, indusoivat saman homografian, jos ja vain jos K:ssa on alkio a, joka ei ole nolla-alkio ja jolle g = af.
Tämä voidaan esittää homogeenisilla koordinaateilla seuraavasti: Homografia f voidaan määritellä kääntyvällä n+1 × n+1 -matriisilla [ai,j], jota sanotaan homografiamatriisiksi. Pisteen x homogeenisten koordinaattien ja sen kuvapisteen y = f(x) koordinaattien välillä on relaatio
Kun projektiiviset avaruudet on määritelty lisäämällä affiineihin avaruuksiin äärettömyydessä olevia pisteitä (projektiivinen täydennys), nämä kaavat voidaan esittää affiineilla koordinaateilla seuraavasti:
mikä yleistää seuraavassa osiossa käsiteltävää homografista funktiota. Tämä määrittelee vain osittaisfunktion affiinen avaruuksien välille, sillä funktiota ei ole määritelty hypertasolla, jossa nimittäjä on nolla.
Projektiivisen suoran homografiat
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Faisceaux_orthogonaux.png/250px-Faisceaux_orthogonaux.png)
Projektiivinen suora kunnan K yli voidaan samastaa sen joukon kanssa, joka saadaan lisäämällä K:hon yksi piste, jota sanotaan äärettömyydessä olevaksi pisteeksi ja merkitään ∞. Kun projektiiviset suorat määritellään näin, homografioita ovat kuvaukset
joita snotaan homografisiksi funktioiksi tai lineaarisiksi fraktionaalisiksi muunnoksiksi.
Projektiivinen suora kompleksilukujen kunnan yli tunnetaan Riemannin pallona, ja sen homografioita sanotaan Möbius-kuvauksiksi. Ne ovatkin ainoat Riemannin pallon bijektiot itselleen, joissa orientaatio säilyy ja jotka ovat konformikuvauksia.[3]
Kollineaatioiden teoriassa projektiiviset suorat ovat erikoisasemassa yksiulotteisuutensa vuoksi. Kun suoraa pidetään itsenäisenä projektiivisena avaruutena, jokainen sen pisteiden permutaatio on kollineaatio,[4][5][6] sillä mitkä tahansa pisteet ovat samalla suoralla. Jos projektiivinen suora kuitenkin upotetaan useampiulotteiseen projektiivisen avaruuteen, tätä avaruuden geometrista rakennetta voidaan käyttää muodostamaan suoralle geometrinen rakenne. Synteettisessä geometriassa käsitellään sen vuoksi vain niitä projektiivisen suoran homografioita ja kollineaatioita, jotka saadaan tämän useampiulotteisen avaruuden homografioista ja kollineaatioista. Tällöin projektiivisen geometrian peruslause pätee myös yksiulotteisessa tapauksessa. Projektiivisen suoran homografia voidaan yhtäpitävästi määritellä myös kuvaukseksi, jossa kaksoissuhde säilyy.
Keskeiskollineaatiot
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Projection_geometry.svg/250px-Projection_geometry.svg.png)
Edellä homografiat on määritelty lineaarialgebran avulla. Synteettisessä geometriassa ne on vanhastaan määritelty tiettyjen keskeiskollineaatioiksi nimitettyjen homografioiden yhdistetyiksi kuvauksiksi. Projektiivisen geometrian peruslauseen yksi osa on se, että nämä määritelmät ovat yhtäpitävät.
Projektiivisessa avaruudessa P, jonka ulottuvuus on n = 2, P:n kollineaatio on sellainen bijektio P:stä itselleen, jossa suorat kuvautuvat suoriksi. Keskeiskollineaatio, jota ainakin aikaisemmin on sanottu myös perspektiviteetiksi,[7] on sellainen bijektio a P:stä itselleen, että on olemassa hypertaso H, jonka kaikki pisteet kuvautuvat itselleen (tätä hypertasoa sanotaan a:n akseliksi) ja piste O (jota sanotaan a:n keskukseksi), jonka kautta kulkevat suorat kuvautuvat kaikki itselleen (mikä ei kuitenkaan edellytä, että näiden suorien jokainen pistekin kuvautuisi itselleen.)[8] Keskeisollineaatioita on kahta tyyppiä. Elaatiot ovat keskeiskollinaatioita, joiden keskus sijaitsee akselilla, ja homologiat sellaisia, joiden keskus ei ole akselilla. Keskeiskollinaation määräävät yksikäsitteisesti keskus, akseli, yksi piste ja sen kuvapiste.
Keskeiskollineaatio on homogragia, joka määrittelee (n+1) × (n+1) -matriisi (homografiamatriisi), jolla on n-ulotteinen ominaisavaruus. Se on homologia, jos matriisilla on toinenkin ominaisarvo, jolloin se on diagonalisoituva. Se on elaatio, jos kaikki ominaisarvot ovat yhtä suuret eikä matriisi ole diagonalisoituva.
Keskeiskollineaatioihin liittyvä geometrinen mielikuva on helpoin hahmottaa projektiivisen tason tapauksessa. Jos on annettu keskeiskollineaatio a, tarkastellaan suoraa , joka ei kulje keskuksen O kautta, ja suoraa , jolle a sen kuvaa. Jos asetetaan , a on jokin R:n kautta kulkeva suora M. Jokaisen suoralla oleva piste kuvautuu OA:n ja :n leikkauspisteeseen. Jos piste B ei ole suoralla , sen kuvapiste saadaan seuraavasti: jos , niin
Vaikka kahden keskeiskollineaation yhdistetty kuvaus on edelleen homografia, se ei yleensä ole keskeiskollinaatio. Itse asiassa jokainen homografia saadaan yhdistettynä kuvauksesta äärellisestä määrästä keskeiskollinaatioita. Synteettisessä geometriassa tätä ominaisuutta, joka on osa projektiivisen geometrian peruslauseesta, pidetään homografian määritelmänä.[2]
Projektiivisen geometrian peruslause
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Homografioiden lisäksi on muitakin kollineaatioita. Erityisesti minkä tahansa kunnan F jokainen automorfismi s määrittelee kollineaation jokaiselle F:n yli muodostetulle projektiiviselle avaruudelle; se muodostetaan soveltamalla kuvausta s kaikille tietyn pisteen homogeenisille koordinaateille. Näitä kollineaatioita sanotaan automorfisiksi kollineaatioiksi.
Projektiivisen geometrian peruslause käsittää seuraavat kolme väitettä:
- Jos projektiiviselle avaruudelle P on valittu kaksi projektiivista kantaa, on yksi ja vain yksi P:n homografia, joka kuvaa ensimmäisen kannan toiselle kannalle.
- Jos projektiivinen avaruus P on vähintään kaksiulotteinen, jokainen P:n kollineaatio on automorfisen kollineaation ja homografian yhdistetty kuvaus. Erityisesti reaalilukujen kunnan yli muodostetuissa vähintään kaksiulotteisissa projektiivisissa avaruuksissa jokainen kollineaatio on homografia.[9]
- Jokainen homografia voidaan esittää yhdistettynä kuvauksesta äärellisestä määrästä perspektiviteettejä. Erityisesti jos projektiivinen avaruus on vähintään kaksiulotteinen, jokainen homografia voidaan esittää yhdistettynä kuvauksena äärellisestä määrästä keskeiskollineaatioita.
Jos projektiiviset avaruudet määritellään aksioomien avulla, kuten synteettisessä geometriassa tehdään, lauseen kolmas osa on pelkkä määritelmä. Jos projektiiviset avaruudet sen sijaan määritellään lineaarialgebrallisesti, lauseen ensimmäinen osa seuraa suoraan määritelmästä.
Homografiaryhmät
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Koska jokaisella homografialla on käänteiskuvaus ja homografioiden yhdistetty kuvaus on myös homografia, annetun projektiivisen avaruuden homografiat muodostavat ryhmän. Esimerkiksi Möbiuksen ryhmä on kompleksisen projektiivisen suoran homografiaryhmä. Homografiaryhmiä sanotaan myös projektiivisiksi lineaarisiksi ryhmiksi.
Koska kaikki saman kunnan yli muodostetut yhtä moniulotteiset homografiat ovat isomorfisia, on samoin niiden homografiaryhmien laita. Niitä voidaan sen vuoksi käsitellä yhtenä ryhmänä, joka vaikuttaa eri avaruuksissa, ja niiden merkinnässä onkin mukana vain ulottuvuus, ei mikään tietty projektiivinen avaruus.
Kunnan F yli muodostetun n-ulotteisen projektiivisen avaruuden homografiaryhmälle käytetään merkintää PGL(n + 1, F). Edellä esitetystä homografian määritelmästä seuraa, että PGL(n + 1, F) voidaan käsittää myös tekijäryhmäksi GL(n + 1, F) / F*I, missä GL(n + 1, F) on kääntyvien matriisien yleinen lineaarinen ryhmä ja F*I on F:n muiden kuin nolla-alkion ja (n + 1) × (n + 1) -yksikkömatriisin tulojen muodostama ryhmä.
Kun F on Galois'n kunta GF(q), homografiaryhmälle käytetään merkintää Malline:Nobreak. Esimerkiksi PGL(2,7) vaikuttaa kahdeksaan pisteeseen äärellisen kunnan GF(7) yli muodostetun projektiivisella suoralla, kun taas PGL(2,4), joka on isomorfisen alternoivan ryhmän A5 kanssa, on viisipisteisen projektiivisen suoran homografiaryhmä.[10]
Tämä artikkeli tai sen osa on tuotu vieraskielisestä lähteestä ja käännös on keskeneräinen. Voit auttaa Wikipediaa tekemällä käännöksen loppuun. |
Kaksoissuhde
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Homografiateorian kannalta on oleellista, että homografiassa neljän samalla suoralla olevan pisteen kaksoissuhde säilyy.
Jos kunnan F yli muodostetulta suoralta valitaan kolme pistettä, a, b, ja c, on olemassa yksi ja vain yksi sellainen homografia h tältä suoralta joukkoon F ∪ {∞}, että h(a) = ∞, h(b) = 0 ja h(c) = 1. Jos samalta suoralta valitaan neljäs piste, pisteiden a, b, c ja d kaksoissuhde, jota merkitään [a,b; c,d], määritellään pisteen d kuvapisteeksi h(d) kuvauksessa h. Toisin sanoen jos d:llä on homogeeniset koordinaatit [k : 1] pisteiden a, b ja c muodostamassa projektiivisen avaruuden kannassa, niin [a, b; c,d] = k.[11]
Tämä artikkeli tai sen osa on tuotu vieraskielisestä lähteestä ja käännös on keskeneräinen. Voit auttaa Wikipediaa tekemällä käännöksen loppuun. |
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Marcel Berger: ”4. luku”, Geometry I. ranskasta englanniksi kääntänyt M. Cole. Springer-Verlag, 2009. ISBN 978-3-540-11658-5.
- ↑ a b Bruce E. Meserve: Fundamental Concepts of Geometry, s. 43–44. Dover, 1983. ISBN 0-486-63415-9.
- ↑ Robin Hartshorne: Foundations of Projective Geometry, s. 138. New York: W. A. Benjamin, Inc., 1967.
- ↑ Paul B. Yale: Geometry and Symmetry, s. 244. Holden-Day, 1968.
- ↑ Reinhold Baer: Linear Algebra and projective Geometry, s. 50. Dover, 2005 (1. painos 1952). ISBN 970-0-486-44565-6.
- ↑ E. Artin: Geometric Algebra, s. 58. Interscience Publishers, 1957.
- ↑ Paul B. Yale: Geometry and Symmetry. Holden-Day, 1968.
- ↑ Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projective Geometry: From Foundations to Applications, s. 96. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48264-6.
- ↑ J. W. P. Hirschfeld: Projective Geometries Over Finite Fields, s. 30. Oxford University Press, 1979. ISBN 978-0-19-850295-1.
- ↑ J. W. P. Hirschfeld: Projective Geometries Over Finite Fields, s. 129. Oxford University Press, 1979. ISBN 978-0-19-850295-1.
- ↑ Marcel Berger: ”6. luku”, Geometry I. ranskasta englanniksi käntänyt M. Cole. Springer-Verlag, 2009. ISBN 978-3-540-11658-5.
Kirjallisuutta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Patrick du Val: Homographies, quaternions and rotations. Oxford: Oxford Mathematical Monographs, 1964. Teoksen verkkoversio.
- Ewald Gunter: Geometry: An Introduction, s. 263. Wadsworth Publishing, 1971. ISBN 0-534-00034-7.