Fonction de Mertens
En théorie des nombres, la fonction de Mertens est
où μ est la fonction de Möbius.
Moins formellement, M(n) est le nombre d'entiers sans facteur carré inférieurs ou égaux à n et dont le nombre de facteurs premiers est pair, moins le nombre d'entiers sans facteur carré inférieurs ou égaux à n et dont le nombre de facteurs premiers est impair.
Croissance
[modifier | modifier le code]Puisque la fonction de Möbius ne prend que les valeurs –1, 0 et +1, il est évident qu'il n'existe pas de x tel que |M(x)| > x. La conjecture de Mertens (1897) va même plus loin, énonçant qu'il n'existerait pas de x où la valeur absolue de la fonction de Mertens excède la racine carrée de x.
Andrew Odlyzko et Herman te Riele ont montré en 1985 que cette conjecture était fausse[1]. Leur preuve ne produisait pas un contre-exemple explicite, mais on sait aujourd'hui que le plus petit contre-exemple est plus grand[2] que 1016 et plus petit[3] que exp(1,59.1040).
Néanmoins, l'hypothèse de Riemann est équivalente à une conjecture plus faible sur la croissance de M(x), explicitement : pour tout ε >0, M(x) = O(x1⁄2 + ε), où O désigne la notation de Landau. Puisque les pics de M croissent au moins aussi rapidement que la racine carrée de x, ceci place une limite plutôt serrée sur le taux de croissance.
Représentations intégrales
[modifier | modifier le code]En utilisant le produit eulérien, on trouve que
où ζ est la fonction zêta de Riemann et le produit pris sur les nombres premiers. Alors, en utilisant cette série de Dirichlet avec la formule de Perron, on obtient :
où C est une courbe fermée encerclant toutes les racines de ζ.
Inversement, on a la transformée de Mellin
qui reste valable pour Re(s) > 1.
Une bonne évaluation, au moins asymptotiquement, serait d'obtenir, par l'algorithme du gradient, une inégalité :
Calcul
[modifier | modifier le code]La fonction de Mertens a été calculée pour un intervalle de plus en plus grand de n.
Personne | Année | Limite |
---|---|---|
Mertens | 1897 | 104 |
von Sterneck | 1897 | 1,5 × 105 |
von Sterneck | 1901 | 5 × 105 |
von Sterneck | 1912 | 5 × 106 |
Neubauer | 1963 | 108 |
Cohen et Dress | 1979 | 7,8 × 109 |
Dress | 1993 | 1012 |
Lioen et van de Lune | 1994 | 1013 |
Kotnik et van de Lune | 2003 | 1014 |
Hurst | 2016 | 1016 |
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) A. Odlyzko et H. J. J. te Riele, « Disproof of the Mertens conjecture », J. reine angew. Math., vol. 357, , p. 138-160.
- (en) T. Kotnik et J. van de Lune, « On the order of the Mertens function », Experimental Mathematics, vol. 13, 2004), p. 473-481 (lire en ligne [PDF]).
- (en) T. Kotnik et Herman te Riele, « The Mertens Conjecture Revisited », dans Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium, coll. « Lecture Notes in Computer Science » (no 4 076), , p. 156-167.
Liens externes
[modifier | modifier le code]- (en) Les valeurs de la fonction de Mertens pour les 50 premiers n sont données par suite A002321 de l'OEIS
- (en) Eric W. Weisstein, « Mertens Conjecture », sur MathWorld