En mathématiques, une fonction de couplage, est une méthode permettant d’attribuer de manière unique un entier naturel à un couple d'entiers naturels.
En théorie des ensembles, on peut utiliser n'importe quelle fonction de couplage pour prouver que l'ensemble des entiers relatifs et celui des nombres rationnels ont la même cardinalité que l'ensemble des entiers naturels. En théorie de la calculabilité, la fonction de couplage de Cantor est utilisée pour coder les k-uplets, ainsi une fonction de Nk → N peut être représentée par une fonction de N → N.
Numérotation des éléments de N x N par la fonction de couplage de Cantor.
La fonction de couplage de Cantor
est définie par
Le théorème de Fueter-Pólya énonce que cette fonction est, avec la fonction , la seule fonction de couplage quadratique. En revanche, savoir s'il s'agit de la seule fonction polynomiale de couplage est encore une question ouverte. On note parfois le résultat de la fonction de couplage sur les entrées et .
La fonction de Cantor peut être généralisée de la manière suivante :
Cette autre progression en diagonale, analogue mais différente de celle de la fonction de Cantor, fournit une autre fonction de couplage. Ici elle est utilisée pour prouver la dénombrabilité des nombres rationnels.
La fonction de couplage de Cantor est définie en parcourant par diagonales successives.
En suivant l'énumération diagonale par diagonale La fonction de couplage de Cantor vérifie :
;
;
;
ce qui fournit une définition récursive de la fonction (le couple (x + y, x) décroît strictement à chaque appel récursif pour l'ordre lexicographique ).
Pour tout , la diagonale d'équation contient points (de à ). Le nombre de points des diagonales qui précèdent celle du couple est donc égal à (le -ième nombre triangulaire). Par conséquent l'image du couple est donnée par :
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D'après la construction ci-dessus, est bijective, c'est-à-dire que pour tout , il existe un unique couple tel que .
On rencontre fréquemment[1]
la méthode suivante pour démontrer que (où est un cardinal infini : un bon ordre est défini sur dont chaque éléments possède prédécesseurs, de sorte que et sont isomorphes comme ensembles ordonnés et sont donc équipotents.
Dans le cas plus simple où cette méthode conduit à une bijection .
Définissons sur la relation binaire
si
Alors est une relation de bon ordre pour laquelle chaque élément possède un nombre fini de minorants.
On définit une bijection par récurrence :
;
est le -successeur de , c'est-à-dire .
Démonstration
Donnons un nom aux « lignes de niveau » de la fonction :
pour , soit .
On a les faits suivants :
– la suite est une partition de ;
– on a la partition , où et ;
– est un ensemble fini de cardinal ;
– la restriction de à est une relation d'ordre total : les éléments de sont rangés par abscisse croissante, ceux de par ordonnée croissante et chaque élément de est inférieur à chaque élément de ;
– par ailleurs si et alors .
La relation est réflexive par définition.
Supposons et . On a (où ). Si on avait par exemple alors aucune des quatre conditions définissant ne serait satisfaite : il faut donc que et, par symétrie, donc . Mais alors étant un ordre total, son antisymétrie implique . La relation est donc antisymétrique.
Supposons et . On a (où ). Sans perdre en généralité on peut supposer que et on conclut, en examinant les quatre cas possibles d'inégalités ou ou ou , que . La relation est donc transitive.
La relation est donc bien un ordre. Si est non vide alors l'ensemble est non vide et admet un plus petit élément ; mais alors le plus petit élément de minore tous les éléments de , de sorte que est bien ordonné.
Si l'ensemble des minorants de est inclus dans la réunion , qui est finie.
La définition par récurrence donnée plus haut fournit donc une suite qui est une énumération strictement croissante de .
On observe que, pour , l'ensemble des minorants stricts de est exactement , qui est de cardinal , de sorte que .
Ensuite, pour on a (par récurrence sur ) ; notamment , lequel a pour successeur .
Enfin pour , on a (par récurrence sur ).
Une autre méthode consiste à utiliser la propriété arithmétique suivante : tout entier peut s'écrire d'une façon unique sous la forme du produit d'une puissance de 2 par un nombre impair, soit
, où . L'application définie par est ainsi une bijection.
Bourbaki utilise une injection, afin de prouver l'équipotence de ces deux ensembles, dans le volume I des Éléments de mathématiques (III §6).
Il s'avère que c'est une bijection.
Tout possède une unique écriture en base 2 (où sont les chiffres de l'écriture de ), c'est-à-dire : . On observe que si alors , et si alors et .
À l'entier on fait correspondre la suite définie par
Dit autrement est la suite infinie de 0 et de 1 qui commence par énumérer les chiffres de dans l'ordre inverse de leur écriture puis se poursuit par une infinité de 0, soit .
L'application est une bijection := le sous-ensemble de constitué des suites presque nulles (et ).
Par ailleurs, si on définit par et pour tout .
L'application est évidemment une bijection .
En conclusion est une bijection .
Donnons un exemple : . On a ; alors
Donc .
Inversement, partant de , on a
Donc .
L'analogue de la fonction en base 10 — notons-la — est plus maniable puisqu'elle évite les allers-retours entre les bases 2 et 10.
↑Voir par exemple (en) Kenneth Kunen, Set theory : An Introduction to Independence Proofs, vol. 102, North-Holland, coll. « Studies in Logic and the Foundations of Mathematics », (réimpr. 1983, 1988 et 1990) (ISBN0444868399), p. 29.