Pour deux paires d'espaces localement convexes séparés
et
, en posant
, on peut écrire le problème d'optimisation primal comme
![{\displaystyle \inf _{\mathrm {x} \in X}f(x).\,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f89dc0c553b63c5d92d0641b0dbac8656f3e051)
Pour un problème sous contraintes, on peut corriger f par f + Icontraintes avec I est la fonction indicatrice de l'espace des contraintes. Une fonction
est une fonction de perturbation si elle est telle que
.
Par exemple, pour un problème d'optimisation primal
![{\displaystyle \inf _{\mathrm {x} \in X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}\left\{f(\mathrm {x} ),g_{i}(\mathrm {x} )\leq 0,i=1,...,m\right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0078a7148fe5dcca6e35454da55b0996a539d0e5)
on définit la fonction de perturbation v comme
![{\displaystyle \forall \mathrm {y} =(y_{1},...,y_{m})\in \mathbb {R} ^{m},v(\mathrm {y} )=\inf _{\mathrm {x} \in X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}\left\{f(\mathrm {x} ),g_{i}(\mathrm {x} )\leq y_{i},i=1,...,m\right\}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5164b27a243dea9fed3c3aa6ee24c26c6cb50802)
Le problème primal est dit stable si v(0) est fini (le problème a une solution) et s'il existe un réel K tel que
![{\displaystyle \forall \mathrm {y} \in (\mathbb {R} ^{m})^{*},v(0)-v(\mathrm {y} )\leq K\|\mathrm {y} \|.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6947036953e49a38cc1049539502e7eb25021d7)
Soient
et
deux paires duales. Pour un problème primal donné (minimiser f(x)) et une fonction de perturbation associée (F(x,y)) alors le Lagrangien
est le conjugué négatif de F par rapport à y (i.e. le conjugué concave). Le Lagrangien est défini par
![{\displaystyle L(x,y^{*})=\inf _{y\in Y}\left\{F(x,y)-y^{*}(y)\right\}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363a71be19bdf1dc53acb6b7a80dc804f5986260)
En particulier la équation du minmax en dualité faible peut être vue comme
![{\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\inf _{x\in X}L(x,y^{*})\leq \inf _{x\in X}\sup _{y^{*}\in Y^{*}}L(x,y^{*})=\inf _{x\in X}F(x,0).}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cbd18e7ebe992a46d396ee04892ee66a377f07)
Si le problème primal est
![{\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq 0}f(x)=\inf _{x\in X}{\tilde {f}}(x)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e0fe6cb890c13c0924ebca97e2797ac848b85a)
avec
, alors si la perturbation est donnée par
![{\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq y}f(x)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb906922f9368decfa8a9e247dde7c3138fd473)
alors la fonction de perturbation est
![{\displaystyle F(x,y)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(y-g(x)).}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b3c5f1822f6ed9cbe4a762243ea6605279caaf)
Ainsi la connexion à la dualité lagrangienne peut être vue, comme L peut être changée trivialement en
![{\displaystyle L(x,y^{*})={\begin{cases}f(x)+y^{*}(g(x))&{\text{if }}y^{*}\in \mathbb {R} _{+}^{d},\\-\infty &{\text{else}}.\end{cases}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff040a4d6c0f60ef5433e5dd6d60fc641da7a8b)
Pour une fonction f convexe et fermée, on définit la transformée de Fenchel-Rockafellar ou Fenchel-Legendre ou polaire, la fonction
![{\displaystyle f^{*}(x)=\sup \langle x,y\rangle -f(y)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f46e84c862c48d4d0f4840d1ebd1cf807ab7a066)
Elle est bien une fonction de perturbation dans le sens où
![{\displaystyle f^{*}(0)=-\inf f(x)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89095d880d6e7ae9841c5f8fe2aec407193f72f8)
Soient
et
deux paires duales. On suppose qu'il existe une application linéaire
avec pour opérateur adjoint
. On suppose que la fonction objectif primale
(avec les contraintes sous forme de fonctions indicatrices) peut être écrites sous la forme
de sorte que
. Alors la fonction de perturbation est donnée par
![{\displaystyle F(x,y)=J(x,Tx-y).}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9755ce8d9c3d7a1b13caed3bf42e7982a56591)
En particulier, si la fonction primale est
alors la fonction de perturbation est donnée par
, qui est la définition traditionnelle de la dualité de Fenchel[1].