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Fonction quantile

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Fonction quantile
Représentation graphique de la fonction quantile d'une loi normale d'espérance 0 et de variance 1
Notation
Principales caractéristiques
Ensemble de définition

En probabilités, la fonction quantile est une fonction qui définit les quantiles.

Définition formelle

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Soit X une variable aléatoire et F sa fonction de répartition, la fonction quantile est définie par

pour toute valeur de [1], la notation désignant l’inverse généralisé à gauche de .

Si F est une fonction strictement croissante et continue, alors est l'unique valeur de telle que . correspond alors à la fonction réciproque[1] de , notée . En revanche, pour les lois discrètes, les fonctions de répartition sont toutes en escalier, d'où l'intérêt de la définition précédente.

On dit que :

  • est la médiane ;
  • le premier quartile ;
  • le troisième quartile ;
  • le premier décile et
  • le neuvième décile.
Lois continues

Par exemple, la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ est :

La fonction quantile de cette loi revient, pour une valeur 0 ≤ p < 1, la valeur Q tel que soit :

Les quartiles sont donc :

  • premier quartile (p = 1/4):
  • médiane (p = 2/4) :
  • troisième quartile (p = 3/4) :

De la même façon, on obtient les fonctions quantiles des lois suivantes :

  • loi de Cauchy de paramètres x0 et a
  • loi logistique de paramètres μ et s
  • loi de Laplace
Loi de Tukey-lambda

La loi de Tukey-lambda est définie par sa fonction quantile :

Notes et références

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  1. a et b (en) Larry Wasserman, All of Statistics : A Concise Course in Statistical Inference, New York, Springer-Verlag, , 461 p. (ISBN 978-0-387-40272-7, lire en ligne), définition 2.16, page 25.

Articles connexes

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Liens externes

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