Lemme d'Ehrling
En mathématiques, le lemme d'Ehrling, également connu sous le nom de lemme de Lions[1], est un résultat concernant les espaces de Banach. Il est souvent utilisé en analyse fonctionnelle pour démontrer l'équivalence de certaines normes sur des espaces de Sobolev. Il a été nommé d'après Gunnar Ehrling[2],[3].
Énoncé du lemme
[modifier | modifier le code]Soit ( X , || · || X ), ( Y , || · || Y ) et ( Z , || · || Z ) trois espaces de Banach. Suppose que:
- X est plongé de manière compacte dans Y : i.e. X ⊆ Y et chaque suite ||·||X - bornée dans X a une sous-suite || · || Y - convergente ; et
- Y est plongé de manière continue dans Z : i.e. Y ⊆ Z et il existe une constante k telle que ||y||Z ≤ k ||y||Y pour chaque y ∈ Y.
Alors, pour tout ε > 0, il existe une constante C(ε) telle que, pour tout x ∈ X,
Corollaire (normes équivalentes pour les espaces de Sobolev)
[modifier | modifier le code]Soit Ω ⊂ R n est ouvert et borné, et soit k ∈ N. Supposons que l'espace de Sobolev Hk(Ω) est plongé de manière compacte dans Hk−1(Ω). Alors les deux normes suivantes sur Hk(Ω) sont équivalentes :
et
Pour le sous-espace de Hk(Ω) constitué des fonctions de Sobolev à trace nulle (celles qui sont zéro sur la frontière de Ω°, la norme L2 de u peut être omise pour donner une autre norme équivalente.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ehrling's lemma » (voir la liste des auteurs).
- Haïm Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, New York, Springer-Verlag, (ISBN 978-0-387-70913-0)
- Ehrling, « On a type of eigenvalue problem for certain elliptic differential operators », Mathematica Scandinavica, , p. 267-285 (lire en ligne [PDF], consulté le )
- Gaetano Fichera, Linear elliptic differential systems and eigenvalue problems, , 24–29 p. (lire en ligne), « The trace operator. Sobolev and Ehrling lemmas »