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Masse fluide en rotation

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Soit un fluide incompressible, autogravitant, en rotation, de masse M, de masse volumique . Le problème est de trouver sa forme.

Pour une rotation faible, la solution de Maclaurin (1742) est la bonne : un ellipsoïde de révolution aplati.

Mais Jacobi découvre en 1834 une nouvelle famille de solutions : un ellipsoïde à trois axes différents.

Dès lors, le problème devient l'objet de recherches mathématiques intenses (Meyer, Riemann, Poincaré, Cartan,...) jusqu'à nos jours.

Historiquement, Darwin-fils avait pensé que lors de la formation de la Terre, la "goutte" en rotation rapide avait pu se séparer donnant naissance à la Lune. Ce scénario est écarté aujourd'hui.

La solution de Maclaurin

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Soit un ellipsoïde de révolution aplati, d'aplatissement f = (a-b)/a, d'excentricité e.

La rotation est caractérisée par le paramètre m = . Comme le volume est donné, V = , m est proportionnel à

La solution donnée par Maclaurin est :

.

A dire vrai, il vaut mieux considérer que le moment cinétique L = est donné. Alors L =f(e) est monotone.

La solution de Jacobi

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Jacobi montrera que si L augmente, l'ellipsoïde de révolution est instable ; il faut lui substituer un ellipsoïde triaxial (a>b>c) , avec c/a = 0.58 , et b/a = 1 au point de bifurcation  : la symétrie de révolution est brisée.

La valeur de e = correspondante est : 0. 812 670 ...

Pour des valeurs plus importantes de L , b diminue , ainsi que c , pour atteindre les valeurs b/a = 0.43 et c/a = 0.34 .

Au-delà, la solution bifurque à nouveau : solutions "piriformes" de Poincaré , etc.

Bibliographie

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Articles connexes

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