En mathématiques, le problème de Dirichlet est de trouver une fonction harmonique définie sur un ouvert
de
prolongeant une fonction continue définie sur la frontière de l'ouvert
. Ce problème porte le nom du mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Il n'existe pas toujours de solution au problème de Dirichlet.
Dans cette partie,
, où
est le disque de centre 0 et de rayon 1. Il existe alors une solution au problème de Dirichlet, définie ci-dessous.
On a toujours
continue sur
.
On pose :
.
La solution est
définie telle que :
où
est coefficient de la série de Fourier de la fonction g.
Preuve :
La continuité de la fonction ainsi que le fait qu'elle soit réelle découle des résultats sur les sommations de Poisson, liés aux séries de Fourier.
vérifie l'équation de Laplace car elle en fait la partie réelle d'une fonction analytique. On remarque en effet que
s'exprime comme la somme de deux fonctions analytiques et qu'elle est réelle. Or la partie réelle d'une fonction analytique vérifie toujours l'équation de Laplace.
Lorsque le problème admet une solution et que
est borné, celle-ci est unique.
Preuve :
Soient
et
deux fonctions définies de
sur
telles que
et
répondent au problème de Dirichlet.
On pose
Calculons
où
est un élément infinitésimal de
On obtient :
Or
On applique à présent le théorème de la divergence et obtient :
où
est le vecteur normal à la surface
et
un élément infinitésimal de
car
sur
Conclusion :
et donc
,
est constante, et par continuité
sur
car
sur
Dans le cas de
non borné, il peut y avoir des pathologies: typiquement, si l'on considère le plan
privé du disque unité. Les fonctions
et
coïncident sur la frontière du domaine et sont harmoniques.
On a l'équivalence suivante :
![{\displaystyle \Phi {\mbox{ solution au probl}}{\grave {\mbox{e}}}{\mbox{me de Dirichlet}}\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}\forall \Psi {\mbox{ continue et de classe }}{\mathcal {C}}^{n}{\mbox{ sur }}\Omega \ {\grave {a}}{\mbox{ valeur dans }}\mathbb {R} {\mbox{, prolongeant G}}\\\\\displaystyle \int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial x_{i}}}\right)^{2}dA>\int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}\right)^{2}dA\end{matrix}}\right.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567971213dddf310c57ab7f9f7dab986f4ef1c75)
Le premier sens de l'équivalence se prouve de manière similaire à l'unicité de la solution.
Dirichlet avait déjà trouvé cette équivalence et il en avait déduit que le problème avait toujours une solution (c'est ce qu'on appelle le principe de Dirichlet). En effet, il lui semblait évident que l'on pouvait minimiser l'intégrale. Riemann et Gauss étaient de son avis. Weierstrass montra avec un contre-exemple que ce n'était pas toujours possible.