Suite de Pell
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/PellNumbers.png/220px-PellNumbers.png)
En mathématiques, la suite de Pell et la suite de Pell-Lucas sont respectivement les suites d'entiers U(2, –1) et V(2, –1), cas particulier de suites de Lucas.
La première est aussi la 2-suite de Fibonacci.
Leurs termes sont dénommés respectivement nombres de Pell et nombres de Pell-Lucas.
Définitions
[modifier | modifier le code]La suite de Pell et la suite de Pell-Lucas sont définies par récurrence linéaire double :
Autrement dit : on commence par 0 et 1 pour la première suite et par 2 et 2 pour la seconde, et dans chacune des deux suites, on produit le terme suivant en additionnant deux fois le dernier à l'avant-dernier.
On peut aussi écrire : et où et sont respectivement les polynômes de Fibonacci et de Lucas d'indice .
Quelques valeurs
[modifier | modifier le code]Les dix premiers nombres de Pell sont 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408 et 985 et les dix premiers nombres de Pell-Lucas sont 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1 154 et 2 786 (pour les 1 000 premiers, voir les suites A000129 et
A002203 de l'OEIS).
Les étant tous pairs, c'est parfois plutôt les qu'on appelle nombres de Pell-Lucas[1].
La sous-suite des termes premiers de la suite de Pell est formée des nombres
et les indices correspondants (nécessairement premiers) sont
- 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, etc. (pour les 31 premiers, voir
A096650).
Terme général
[modifier | modifier le code]Les termes généraux de ces deux suites sont donnés respectivement par les formules :
Lien avec le nombre d'argent
[modifier | modifier le code]Les puissances successives du nombre d'argent 1 + √2 sont donc voisines des nombres de Pell-Lucas quand est grand, et leurs quotients par voisins des nombres de Pell.
Par exemple :
Plus précisément,
- pour tout , où désigne l 'entier le plus proche,
- pour tout , où désigne la partie entière supérieure.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) Thomas Koshy, Pell and Pell-Lucas Numbers with Applications, New York, NY, Springer, (ISBN 978-1-4614-8489-9, lire en ligne).
Voir aussi
[modifier | modifier le code]- Suite de Fibonacci et suite de Lucas, deux autres cas particuliers de suites de Lucas
- Nombres de Delannoy dont les sommes diagonales donnent les nombres de Pell
- Nombres triangulaires carrés