Aller au contenu

Théorème de l'enveloppe

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Le théorème de l'enveloppe est un résultat de la différentiabilité de la fonction objective d'un problème d'optimisation paramétré. Quand les paramètres de la fonction objective changent, le théorème de l'enveloppe montre que les changements dans l'optimiseur de l'objectif ne contribuent pas au changement dans la fonction objective. Le théorème de l'enveloppe est un outil important pour la comparaison des modèles d'optimisation[1].

Notons et valeurs réelles sur et sont des variables et sont des paramètres. On considère le problème de trouver pour une certaine valeur de  :

sachant que et .

L'expression du Lagrangien de ce problème est

sont les multiplicateurs de Lagrange. Soit et la solution qui maximise la fonction objective f sous réserve des contraintes (et donc sont des points col du Lagrangien),

et on définit la valeur de la fonction

Ensuite, nous avons le théorème suivant[2],[3].

Théorème: Supposons que et sont des fonctions continûment dérivables. Alors :

Références

[modifier | modifier le code]
  1. Michael Carter, Foundations of Mathematical Economics, Cambridge, MIT Press, , 603–609 p. (ISBN 0-262-53192-5, lire en ligne)
  2. S. N. Afriat, « Theory of Maxima and the Method of Lagrange », SIAM Journal on Applied Mathematics, vol. 20, no 3,‎ , p. 343–357 (DOI 10.1137/0120037)
  3. (en) Akira Takayama, Mathematical Economics, New York, Second, , 137–138 p. (ISBN 0-521-31498-4, lire en ligne)