Prijeđi na sadržaj

Eksponencijalna funkcija

Izvor: Wikipedija
Eksponencijalna funkcija

U matematici eksponencijalna funkcija je funkcija f(x) = ex gdje je broj e prirodna konstanta i baza prirodnih logaritama. Funkcija f(x) = ex je definirana unutar cijelog skupa realnih brojeva, monotono je rastuća porastom nezavisne varijable x, gdje se brzina rasta povećava kako raste x.

Graf funkcije (slika desno) leži iznad x-osi, ali joj se asimptotski približava kako x teži prema sve manjim negativnim vrijednostima. Brzina rasta funkcije je u svakoj točki jednaka vrijednosti funkcije u toj točki. Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je funkcija prirodnog logaritma f(x) = ln(x) te se u starijim izvorima eksponencijalna funkcija spominje kao antilogaritamska funkcija.

Definicija

[uredi | uredi kôd]
Eksponencijalna funkcija (plavo) i vrijednost limesa za n=0 do n=8 (crveno).

Eksponencijalna funkcija ex može biti definirana kao niz potencija razvijenih u Taylorov red:

Eksponencijalna funkcija se može također izraziti i kao limes:

Kako n raste, vrijednost limesa izraza se sve više približava vrijednosti ex (slika desno).

Jedinstveno svojstvo eksponencijalne funkcije može se izraziti pomoću jednakosti

odnosno napisano drukčije

Zanimljivosti

[uredi | uredi kôd]

Očito za svaki kada vrijedi Slično se vidi i da Za dovoljno veliki može se pokazati da postoji jedinstvena baza, broj , s kojom se lijevi limes smanjuje jednakom brzinom kao desni, pa možemo reći da razlika ova dva (pozitivna) broja postaje zanemariva, tj. pa je zaista

Ovaj je identitet itekako koristan u realnoj analizi pri izučavanju eksponencijalnih, ali i nekih drugih funkcija. Neka imamo primjerice funkciju Tada možemo pisati Ovo je korisno zbog važnog svojstva funkcije a to je

S druge strane, gore razrađeni identitet je baza kompleksne analize. Defniramo kompleksnu eksponencijalnu funkciju stavljajući gdje je Time se lako dokaže i Eulerova formula.

Derivacija

[uredi | uredi kôd]

Važnost eksponencijalne funkcije u matematici i znanosti potječe uglavnom iz svojstava njezine derivacije koja ima svojstvo da je

što znači da je funkcija ex ujedno i svoja derivacija. Isto takvo svojstvo imaju i funkcija oblika Kex gdje je K konstanta.

Za sve funkcije takvih svojstava vrijedi da je:

  • strmina, odn. nagib grafa funkcije u svakoj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki,
  • brzina porasta funkcije za vrijednost slobodne varijable x jednaka vrijednosti funkcije u x,
  • eksponencijalna funkcije rješenje diferencijalne jednadžbe y ′ = y.

Štoviše, i drugi oblici diferencijalnih jednadžbi nalaze rješenje u eksponencijalnim funkcijama uključivši Schrödingerovu jednadžbu, Laplaceovu jednadžbu te jednadžbu jednostavnog harmoničkog gibanja.


Eksponencijalna funkcija s realnim brojem a kao bazom

[uredi | uredi kôd]
Graf funkcije f(x)=ax za različite baze a: baza10 (zeleno), baza e (crveno), baza 2 (plavo) i baza ½ (cijan). Svaka krivulja prolazi točkom (0,1), a za x=1 vrijednost funkcije je upravo jednaka bazi f(1)=a.

Ponekad se pojam eksponencijalne funkcije koristi općenitije za funkcije oblika

gdje baza a može biti i bilo koji pozitivni realni broj, a ne nužno broj e.

Za eksponencijalne funkcije s drugim bazama vrijedi da je

Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravnini

[uredi | uredi kôd]

Eksponencijalna funkcija može se definirati i u kompleksnoj ravnini na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku reda potencija gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

vrijedi i u kompleksnoj ravnini.

Razmatrana kao funkcija definirana u kompleksnoj ravnini, eksponencijalna funkcija zadržava svoja osnovna svojstva:

za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda jer vrijedi

i

gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štoviše, može se definirati i funkcija oblika ab, gdje su i a i b kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo definirati općenitije da je

za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ako se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

Literatura

[uredi | uredi kôd]
  • Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.
  • Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, 2006.