Morrow a Dallas Stars csapatkapitányakéntMorrow a Pittsburgh Penguinsszel a 2013-as rájátszásbanMorrow a St. Louis Blues játékosaként
Komolyabb junior karrierjét a Western Hockey League-es Portland Winter Hawks csapatában kezdte 1995–1996-ban. Ebben a csapatban 1999-ig játszott. A Dallas Stars a 25. helyen választotta ki az 1997-es NHL-drafton. Még az NHL-ben nem kapott játék lehetőséget és így marad az a WHL-ben ahol viszont a csapatát hozzásegítette a Memorial-kupához. 1999–2000-ben kezdte meg felnőtt pályafutását az IHL-es Michigan K-Wingsben ahol kilenc mérkőzést játszott és két gólt ütött. A Dallasban kezdetben nem ért el komoly eredményeket. A szezonjai 33 és 49 pont között mozogtak míg a 2005–2006-os szezonban 65 pontot szerzett. Az új NHL szabályoknak köszönhetően az olyan felépítésű csatárok, mint ő néhány téren előnyt élveztek az ellenfél védőivel szemben. 2006-ban a büntetés ideje is új rekordot jelentett számára ami 183 perc volt. A +/- tekintetben pedig sosem volt mínuszban a profi pályafutása alatt. A lockout ideje alatt a CHL-es Oklahoma City Blazersben játszott 19 mérkőzést. 2006. szeptember 29-én ő lett az új csapatkapitány és hatéves szerződést írt alá. Ő lett az ötödik játékos aki 1993 óta a C betűt viselheti a Starsban. 2006. november 10-én Brendent karrierje során először jelölték az NHL All-Star Gálára. 2006. december 26-án a Chicago Blackhawks elleni meccsen a jobb csuklójában két szalag elszakadt. A műtét jól sikerült és másnap reggel el is hagyhatta a kórházat. Március 18-án tért vissza a Phoenix Coyotes ellen. A sérülések miatt csak 40 mérkőzést játszott az idény során. 2007–2008-ban élete szezonját játszotta: 32 gól és 74 pont. A csapattal pedig a rájátszásban a főcsoport döntőig meneteltek. A következő idényben csak 18 mérkőzésen tudott jégre lépni egy térdsérülés miatt. A 2009–2010-es szezont szinte végig játszott és jól sikerült neki: 20 gólt ütött de ez sem segített a Starsnak, hogy bejussanak a rájátszásban. 2010–2011-ben legjobb szezonját játszotta: 33 gólt ütött. Viszont a Stars megint nem jutott a playoffsba. A 2011–2012-es szezonban sokat volt sérült és 57 mérkőzésen lépett jégre. Akkor összesen 26 pontot szerzett. A csapat sokáig a rájátszást érő helyeken volt de a szezon végén nem jutottak be oda. Több mérföldkövet is elért a szezon közben. 2011. november 21-én megszerezte az 500. pontját. 2012. március 26-án a 800 mérkőzését játszotta.