A valós számok halmazán értelmezett (alsó) egészrész függvény (jelben ⌊x⌋ vagy [x]) egy valós számnak az adott számnál még nem nagyobb legnagyobb egész számot felelteti meg. Hasonlóan, a felső egészrész függvény (jelben ⌈x⌉) az adott valós számnak az adott számnál még nem kisebb legkisebb egész számot felelteti meg.[1]
A [x] jelölést Gauss vezette be az alsó egészrészre;[2] a ⌊x⌋ és a ⌈x⌉ jelek Kenneth E. Iversontól származnak.[3][4] A német nyelvben ma is használják a Gauß-Klammer ('Gauss-zárójel') nevet az alsó egészrészre. Az angol nyelvben az alsó egészrész függvény egyik neve az entier function, amiben az entier szó franciául egészet jelent.
Egy x valós számra x alsó egészrésze (vagy egész része) az az egész szám, mely a legnagyobb az x-nél kisebb vagy egyenlő egészek közül:
![{\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\},}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6869089028dcdfd044b509489dc6f52fef534f25)
Így például
.
Egy x valós számra x felső egészrésze az az egész szám, mely a legkisebb az x-nél nagyobb vagy egyenlő egészek közül:
![{\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539d4e228071d360ba7ce9c4ec0a1f85947ad2da)
Például:
.
Egy x valós szám törtrésze egészrészétől való távolsága, azaz
. Nyilván mindig teljesül
.
Példa:
Érték
|
Alsó egészrész
|
Felső egészrész
|
Törtrész
|
12/5 = 2,4
|
2
|
3
|
2/5 = 0,4
|
2.7
|
2
|
3
|
0,7
|
−2.7
|
−3
|
−2
|
0,3
|
−2
|
−2
|
−2
|
0
|
Mivel minden egység hosszú, félig nyílt intervallumban egy egész van, ezért egyértelműen vannak olyan n, 'm egészek, amikre:
![{\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.\;}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90da2af4a67ffd97acf2cb014f95e3c88d397455)
Ezért
és ![{\displaystyle \;\lceil x\rceil =n\;}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f568e2fd82c6b6c3146e4ec4fb62f44141f3e1)
az alsó és a felső egészrész ekvivalens definíciója.
A következő formulák segítenek az egészrészt tartalmazó számításokban:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&n&\leq x<n+1,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor =n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&x-1&<n\leq x,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&x&\leq n<x+1.\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf7b531fe28fc2894643e85f5880194030ae704)
Ezek a képletek a rendezéssel való kapcsolatot mutatják:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe58df75bf1e5168101eb11a1c3000b762bcc26c)
Egész szám hozzáadásának hatása:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02d0089e484be6122c0d349831acfaa10beaefc)
Ha n nem egész, akkor a fenti számolások nem igazak:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \;\lfloor x+y\rfloor \;&\leq \;\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\&\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \;\lceil x+y\rceil \;&\leq \;\lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8b5482cd0d80b7f65bdb5ec27d8869ce59b4da)
A definíciók alapján nyilván
és egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x egész, i.e.
![{\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ ha }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ ha }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d4c40ef2fe3d2e1b6fe2b77db72ecff4425855)
Valóban, ha n egész:
![{\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a88a4bc04ed855e1e71231810a3ca86660aad49)
Az argumentum előjelét megváltoztatva az alsó és felső egészrész függvény megcserélődik, és előjelet vált:
azaz
![{\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ ha }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\mbox{ ha }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f07a68be60be3a11b8029b476464858d7c3d97)
![{\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\mbox{ ha }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ ha }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab6f1e25f5a66e0a3ebc839015f77dfb4a122e8)
A törtrész argumentumának ellentettjét véve a törtrész a komplementerére változik:
![{\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\mbox{ ha }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ ha }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e7b7577cf53a6e0e7775e3fd3bf0b47c70e8d7)
A felső, az alsó egészrész és a törtrész idempotens:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\\\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f84b5655c284c0dcd3ae7687b43fb9c834c1f9)
A beágyazott alsó, és felső egészrészek eredménye megegyezik a legbelső eredményével:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor .\\\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986bef19267e3fb1510242f583be75506e5ecb7d)
Rögzített y-ra x mod y idempotens:
![{\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\,{\bmod {\,}}y=x\,{\bmod {\,}}y.\;}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ce95b8f5e6e3239f0d382f90906bb132620ae3)
Tehát a definíciók szerint
![{\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1.\;}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0d1d063cf10ccb70db990ab1a829dc902cb49a)
Ha n ≠ 0,
![{\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec18ad4f6fbaa7e99b70a4afacb9ebd59611691)
Ha n pozitív[5]
![{\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66824749d7091486e854715f2077f36cd375f61f)
![{\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717d5159a662083812ad3c597fd345d259d97846)
Ha m pozitív[6]
![{\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2561eb3ceba1a04dc8c81db12de2149893a8bf5b)
![{\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a74aeb025495228e1b08ff3864c693b29c23f8)
m = 2-re következik:
![{\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff6460c82b233439659fde2413de97e43f0f35b)
Általában,[7] for pozitív m-re:
![{\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562255ffe997a9aa1eacd6c04046429b19c7190d)
![{\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd5c7696ac3e96258f4e16094cc3476698e1805)
Ezekkel az összefüggésekkel át lehet térni az egyik egészrészről a másikra (m pozitív)[8]
![{\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b946e76ca9799e3bf22356f21ae446eb5eb4140)
![{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a5df35eabdc1024099214dbd7787e3c21ee46b)
Ha m és n is pozitív, és relatív prímek, akkor
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {im}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429b9fca95b5056d4ca9fb2014df51bd57b63ac6)
Mivel a jobb oldal szimmetrikus m-ben és n-ben, következik, hogy
![{\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80463c3d8609f3a51f2a8c3f3cdd3218e17bbc7)
Általánosabban, ha m és n pozitív,
[9]
Pozitív m,n-re, és tetszőleges valós x-re:
![{\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c136286573bc4a5c8578fbee2f420a3fa6961a)
![{\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450620bd66d8b429fdeba12c7bca2af877fe78af)
Az itt tárgyalt függvények nem folytonosak; az egészrészek és a törtrész szakadási helyei éppen az egész számok. Az x mod y szakadási helyei rögzített y-ra y többszörösei. Nem párosak, és nem páratlanok. Az alsó és a felső egészrész szakaszonként konstans, a törtrész szakaszonként lineáris. Az alsó egészrész jobbról, a felső egészrész balról folytonos. A szakadási helyeken mindkét oldali határérték létezik. A törtrész periodikus, legkisebb periódusa 1.
Mivel ezek a függvények nem folytonosak, nem fejthetők Taylor-sorba. Ezen kívül az egészrészeknek Fourier-sorokkal sem állíthatók elő, mivel nem periodikusak.
Az x mod y Fourier-sora rögzített y-ra:[10]
![{\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y={\frac {y}{2}}-{\frac {y}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2\pi kx}{y}}\right)}{k}}\qquad {\mbox{ }}x{\mbox{ nem osztható }}y{\mbox{ -nal}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00552eddcc41b7eaf7d907626e4bd3c35ad06014)
Speciálisan, {x} = x mod 1 Fourier-sora:
![{\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}\qquad {\mbox{ha }}x{\mbox{ nem egész}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614564fdee54b62e80a9d810eebee0587508449e)
A szakadási helyeken a sor értéke a jobb és a bal határérték számtani közepét adja. A folytonossági pontokban a sor a függvényértékhez tart.
Az {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} kifejezés felhasználásával
![{\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}\qquad {\mbox{ha }}x{\mbox{ nem egész}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32711d4df587d16ebc286f17b1f098a0da6fee4f)
A mod operátor így definiálható:
![{\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor ,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d5a11109103c061c4531e496abe433850ae126)
ahol y ≠ 0.
x mod y csak 0 és y közötti értékeket vesz fel; i.e.
ha y pozitív,
![{\displaystyle 0\leq x\,{\bmod {\,}}y<y,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b19d3999de91260252c0ae01c470b6844fb70b)
és ha y negatív,
![{\displaystyle 0\geq x\,{\bmod {\,}}y>y.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa0a828d199d249f097649054e8a549903f173b)
Ha x egész, és y pozitív, akkor
![{\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\equiv x{\pmod {y}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059bfea3806e4be9a4e42727f0377ecc2dc99c3c)
Rögzített y-ra x mod y grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Innen a név: fűrészfog-függvény.
Gauss harmadik bizonyítása a kvadratikus reciprocitásra két lépésből áll.[11][12]
Legyen p és q két különböző páratlan prím, és legyen
![{\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},\;\;n={\frac {q-1}{2}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48803aa4f53dcc326ea25f4b063a9ea9472cb399)
Először a Gauss-lemmával megmutatjuk, hogy a Legendre-szimbólumokra
![{\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108257d12c7f47a7481c8a888cf34b213b5385c8)
és
![{\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e9d891515bf5412e6aa52aa13cc08863908abf)
A második lépés geometriai érvelést használ annak belátására, hogy
![{\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed674b9dfa93cc24ed95292189a8d0b4932e3776)
Összetéve
![{\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107230eddab9380f27bd1fc2b6871f1c300efbf2)
Ezek a képletek az alsó egészrészt használják a kis számok kvasdratikus jellemzésére a p páratlan prím modulusokra:[13]
![{\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0194dd4311e17974ecd16a714d8fcc9955a5cd72)
![{\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792e976fc299949d1a8094b3e02aa0552a7ef3d7)
A pozitív számok egészekre kerekítése az
függvénnyel, a negatív számoké a
függvénnyel írható le.
A tizedesjegyek levágása is definiálható az egészrészekkel:
nem negatív egészekre
, és nem pozitív egészekre
.
A szignumfüggvény felhasználásával:
Ha k pozitív egész, akkor jegyeinek száma a b alapú számrendszerben:
![{\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd934a6593fdc8ea2da3ac59fc04da4e29b356e)
Legyen n pozitív egész. Ekkor a p prím kitevője n! prímtényezős felbontásában[14]
![{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ddbccb3460baa4cf3c030c461e5a581384a2fc8)
Ez az összeg véges, mert minden prímre van egy hatvány, ami nagyobb, mint n!.
A Beatty-sorozatok megmutatják, hogy az irracionális számok két részre particionálják a természetes számokat az egészrész felhasználásával.[15]
Több képletben is együtt szerepel a γ = 0,57721 56649... Euler-konstans és valamelyik egészrész:
![{\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b976a0c89b2f2bb1ee8e31c4b0c2f3c56d5d4b)
![{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d155d4da16d8bcc0165bdd5a351d71e580a103b)
és
![{\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c0dda40fa4ecfde8adc649afb910bbee619668)
A törtrész megjelenik a Riemann-féle zéta-függvény integrálos felírásaiban.
Parciális integrálással megmutatható,[16] hogy ha φ(x) folytonosan differenciálható az [a, b] zárt intervallumon, akkor
![{\displaystyle {\sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c549d3d84bfd7962a029d26115e358573e031425)
Ha most φ(n) = n−s, ahol s valós része nagyobb, mint 1, a és b egész, és b tart a végtelenbe, akkor adódik:
![{\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\;dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444fd07196270202027e7b341d3ab235efec7889)
Ez a képlet minden olyan s-re jó, aminek valós része nagyobb, mint -1, és nem egyenlő eggyel. {x} Fourier-sorának felhasználásával és ezzel az egyenlettel a zéta-függvény kiterjeszthető az egész komplex síkra, az 1 kivételével, ahol is pólusa van.[17]
A kritikus sávban levő s = σ + i t-re
![{\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4ed15fe32dcfe3bf98a55bcf6fbf023099162e)
1947-ben van der Pol ezt a felírást használta a zéta-függvény gyökeinek keresésére készített egy analóg számítógépet.[18]
n akkor és csak akkor prím, ha[19]
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9881d0f22464275398693724fb7063b188e5755)
Legyen r > 1 egész, pn az n-edik prím, és
![{\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf02877ba996f8884e7ead7d57944017f3498d43)
Ekkor[20]
![{\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90bcc72261e391cc4e3d104c07491dbe39e9d00f)
Van egy θ = 1,3064... szám (a Mill-konstans), hogy
![{\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bcc1a49888c8d60157dde4dfe390d8af7558a04)
mind prímek.[21]
Van egy ω = 1,9287800... szám is, hogy
![{\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a5047c7cc7d89def04ce577f4ca56a4476540e)
mind prímek.[21]
Jelölje π(x) az x-nél nem nagyobb prímek számát. Ekkor nyílegyenesen következik a Wilson-tételből, hogy:[22]
![{\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ab9152a6baaadff6a76e3ddd308bee75394c6e)
Tehát, ha n ≥ 2,[23]
![{\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8242999a9a665cabdd1ee6c89792eaf43a6d13d)
Az ebben a szakaszban felsorolt formuláknak nincs gyakorlati alkalmazásuk.
Srínivásza Rámánudzsan vetette fel ezeket a kérdéseket a Journal of the Indian Mathematical Societynek:[24]
Ha n pozitív egész, akkor:
(I)
(II)
(III)
Ezeket az állításokat sikerült belátni.
A Waring-probléma tanulmányozása közben felvetődött a kérdés:
Van-e k, k ≥ 6 egész, hogy[25]
![{\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2\;\;?}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94e1e43891eee9e91fb10d257918a88ecca3b93)
Mahler[26] belátta, hogy csak véges számú megoldás létezhet, de nincs ismert konkrét megoldás.
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
- ↑ Lemmermeyer, pp. 10, 23.
- ↑ Iverson, p. 12.
- ↑ Higham, p. 25.
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 72
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 94
- ↑ Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
- ↑ Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32–1.33
- ↑ Hardy & Wright, §§ 6.11–6.13
- ↑ Lemmermeyer, p. 25
- ↑ Hardy & Wright, Th. 416
- ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77–78
- ↑ Titchmarsh, p. 13
- ↑ Titchmarsh, pp.14–15
- ↑ Crandall & Pomerance, p. 391
- ↑ Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
- ↑ Hardy & Wright, § 22.3
- ↑ a b Ribenboim, p. 186
- ↑ Ribenboim, p. 181
- ↑ Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
- ↑ Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
- ↑ Hardy & Wright, p. 337
- ↑ Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122-124
- Floor function (angol nyelven). Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
- Štefan Porubský: Integer rounding functions (angol nyelven). Cseh Tudományos Akadémia, 2007. április 1. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
- Eric W. Weisstein: Floor function (angol nyelven). MathWorld. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
- Eric W. Weisstein: Ceiling function (angol nyelven). MathWorld. (Hozzáférés: 2022. március 11.)