Szürreális számok
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Surreal_number_tree.svg/220px-Surreal_number_tree.svg.png)
A szürreális számok olyan számrendszert, illetve lineáris kontinuumot alkotnak, amely tartalmazza a valós számokat, valamint végtelen és infinitezimális mennyiségeket is. Bármely valós szám szürreális számokkal van körülvéve, amelyek közelebb vannak hozzá minden valós számnál. Ebben hasonlítanak a hiperreális számokra, de konstrukciójukban különböznek, viszont tartalmazzák a hiperreális számokat is. A valós számokon szokásos alapműveletek és rendezés kiterjeszthető rájuk.
A szürreális számokat John Horton Conway brit matematikus konstruálta meg, és Donald Knuth amerikai számítástudós tette közismertté Számok valóson innen és túl című könyvével; az elnevezés is Knuthtól származik. Conway eredetileg csak számoknak nevezte őket. Ez a könyv nem szakkönyv, hanem párbeszédes regény. A szürreális elnevezés francia eredetű, jelentése: valóságon túli. Az elnevezés Conwaynek is tetszett, és átvette. Leírta a szürreális számokat, és játékok, többek között a go elemzésére használta On Numbers and Games (1976) című könyvében.
Motiváció
[szerkesztés]A szürreális számok több szempontból is érdekesek. Két egyszerű művelettel keletkeznek a semmiből, azonban tulajdonságaikban hasonlítanak a valós számokra. Segítenek bebizonyítani a valós számok alapvető tulajdonságait is, például , vagy ha , akkor . Lehetőséget adnak az absztrakt algebra módszereinek gyakorlására is. Conway a játékok elemzésére is felhasználta a számkört.
Mindezek mellett a szürreális számok a nem standard analízis számára is modellt alkotnak, amiben infinitezimális számok léteznek. Mielőtt azonban definiálnánk őket, tisztában kell lennünk azzal, hogy a konstrukciót halmazelméleti eszközökkel végezzük, tehát nem számtani műveletekkel.
Konstrukció
[szerkesztés]A szürreális számok konstrukciója a Dedekind-szeletekére hasonlít. A szám megadásához két halmazt kell definiálni, amelyek közül az egyik a kisebb, a másik a nagyobb számokat tartalmazza; ezeket a továbbiakban rendre L és R jelöli. A számot ez a két halmaz határozza meg, jelölése L | R. A két halmaznak csak azt a kikötést kell teljesítenie, hogy L összes elemének kisebbnek kell lennie R minden eleménél. Például a konstrukció érvényes 2 és 5 közötti számot ad; hogy melyiket, azt majd később meglátjuk. Ezek a halmazok üresek is lehetnek. Az értelmezése: egy szám, ami L minden eleménél nagyobb, és hasonlóan, jelentése: egy szám, ami R minden eleménél kisebb. A konstrukció rekurzívvá tevéséhez először a rendezést kell kiterjeszteni.
Konstrukciós és összehasonlítási szabály
[szerkesztés]Konstrukciós szabály: Legyenek L és R szürreális számokból alkotott halmazok. Ha az L és az R halmazokra teljesül, hogy R egy eleme sem kisebb vagy egyenlő, mint L elemei, akkor a halmazpár szürreális számot definiál.
Rendezési szabály: Az és az szürreális számokra akkor teljesül , ha kisebb egyenlő, mint bármely eleme -nek, és egy eleme sem kisebb egyenlő, mint .
A jelölés egyszerűsítésére elhagyjuk a halmazok zárójeleit, és az üres halmazokat. Így például ugyanaz, mint , illetve megegyezik az szürreális számmal. A kisebb-egyenlő szabályt teljesítő objektumot jólformáltnak is nevezik, hogy megkülönböztessék a nem jólformált objektumokról, amikről később a játékok kapcsán lesz szó.
Relációk
[szerkesztés]A szürreális számok megfelelő relációkkal teljesen rendezhetők. Azonban a fent bevezetett reláció még nem antiszimmetrikus, csak a reflexív és a tranzitív tulajdonságokat teljesíti. Ez azt jelenti, hogy abból, hogy és hogy , nem következik, hogy . Ezen lehet segíteni az == reláció bevezetésével:
Legyen , ha és
Ez egy ekvivalenciareláció, aminek osztályai teljesen rendezettek. Ha x és y ugyanahhoz az ekvivalenciaosztályhoz tartozik, akkor ugyanazt a szürreális számot jelölik. Az x ekvivalenciaosztályát [x] jelöli, ahol x az ekvivalenciaosztályt reprezentálja. Ez az eljárás hasonló a törtek hányadosként való bevezetéséhez, vagy a valós számok Cauchy-sorozatokkal való definiálásához.
Példák
[szerkesztés]Az első példa a két üres halmazzal definiált szürreális szám, mégpedig: . Ez megfelel a konstrukciós szabálynak, mivel az üres halmazok nem tartalmaznak elemeket, amelyek megsértik a konstrukciós szabályt. Ezt a számot jelöli, és ekvivalenciaosztályát egyszerűen úgy írjuk, hogy 0. Az összehasonlítás szabálya szerint
- .
A konstrukciós szabály alapján kapjuk a következő számokat:
- és
Az utolsó szám nem jólformált a szabály miatt. Tehát az eddigi számok így rendezhetők:
Itt azt jelenti, hogy nem teljesül . Ezeket az új számokat így jelöljük: és és ekvivalenciaosztályaikat és . Mivel az ekvivalenciaosztályok eddig csak egy elemet tartalmaznak, a rendezés írható, mint
- .
Még egyszer alkalmazva a konstrukciót az eddigi számokra a nem jólformáltak mellett a következő jólformáltakat kapjuk:
A következő megfigyeléseket tehetjük:
- Négy új ekvivalenciaosztályunk van, , , és
- Mindegyik osztály egynél több elemet tartalmaz
- A szürreális szám értéke csak a legnagyobb bal és a legkisebb jobb elemtől függ.
Az első megfigyelés azt a kérdést veti fel, hogy hogyan értelmezzük az új osztályokat. Mivel kisebb, mint a , azért ez tekinthető a számnak; ennek ekvivalenciaosztálya . Hasonlóan, az számot -nek nevezzük; a és a között van, ezért azonosítjuk a számmal, és hasonlóan lesz az . Tehát az új ekvivalenciaosztályokat , , és jelöli. A szorzás és az összeadás bevezetése után ezt majd még jobban fogjuk látni.
A második megfigyelés ahhoz a kérdéshez vezet, hogy továbbra is azonosíthatjuk-e a szürreális számokat ekvivalenciaosztályukkal. A válasz igenlő, mivel:
- Ha és , akkor .
Itt az elemeinek ekvivalenciaosztályaiból alkotott halmaz. Így a fentieket írhatjuk úgy is, mint:
vagy rövidebben:
- .
A harmadik megfigyelés szerint tetszőleges szürreális szám általánosítható véges jobb és bal halmazával. Így az szürreális szám megegyezik a szürreális számmal. Az elemeket megadó halmazok végtelenek is lehetnek, ezért ebben az esetben nem biztos, hogy van legnagyobb vagy legkisebb elem.
Műveletek
[szerkesztés]A szürreális számokon végzett műveleteket így definiálják:
- Összeadás
- Ellentett
- Szorzás
- .
ahol a az operátorok halmazelméleti kiterjesztései, például
- ,
és
Ezek a műveletek jóldefiniáltak abban az értelemben, hogy nem vezetnek ki a jóldefiniált szürreális számok halmazából. Megállapítható, hogy a fenti jelölések megfelelnek várakozásainknak, ugyanis
- , , és .
(Ügyeljünk a különbségre: az egyenlőség, és az ekvivalencia!)
A műveletek átvihetők az ekvivalenciaosztályokra, ugyanis
- és miatt és és .
jóldefinált műveletek az ekvivalenciaosztályokkal. Végül belátható, hogy az ekvivalenciaosztályokon végezhető műveletek bírnak azokkal a tulajdonságokkal, amiket elvárunk az összeadástól, az ellentettképzéstől és a szorzástól.
Az ekvivalenciaosztályok a rendezéssel és a műveletekkel teljesítik a rendezett test tulajdonságait, de mivel nem alkotnak halmazt, ezért ez nem rendezett test.
A következőkben nem különböztetjük meg egymástól az ekvivalenciaosztályokat és a szürreális számokat.
Generálás teljes indukcióval
[szerkesztés]Eddig nem vizsgáltuk részletesen, hogy milyen számok kaphatók meg a konstrukciós szabállyal, és melyek nem. Azokkal a számokkal kezdünk, amelyek véges sok lépésben megkaphatók. Induktívan definiáljuk az halmazokat minden természetes számra:
- az halmazhoz hozzávesszük azokat a szürreális számokat, amelyek egy lépésben konstruálhatók részhalmazaiból.
Az összes, valamelyik halmazban megtalálható szürreális szám halmazát -nak nevezzük. Az első néhány halmaz a következő:
Ez alapján észrevehetjük a következőket:
- Egész számok: a maximum mindig eggyel nő, a minimum eggyel csökken.
- Törtek: minden eddigi szomszédos szám között megjelenik egy új szám.
Eszerint minden diadikus törtet megkapunk, vagyis azokat a törteket, amelyek alakúak, ahol a és b egészek. Más törtek azonban nincsenek -ban.
A végtelenig, és azon is túl
[szerkesztés]Miután már megkaptuk az halmazt, tovább folytathatjuk a generálást. Így kapjuk az , halmazokat, amelyek most mindkét oldalon végtelen számú elemet tartalmaznak. Transzfinit indukcióval minden a rendszámhoz definiálhatunk Sa halmazt.
A szürreális szám születésnapjának nevezzük azt az a rendszámot, amire Sa tartalmazza a szürreális számot, de egyetlen kisebb rendszámú halmazban sincs benne a szürreális szám. Például a 0 születésnapja 0, az 1/2 születésnapja 2.
Megmutatható, hogy a legöregebb szürreális számot határozza meg a és b között. A fent megadott szám egyenlő a számmal, és a legöregebb szám és között a 3.
Már az -ben találhatunk törteket, amelyek nem voltak jelen -ban. Például
- .
A definíció korrektségét mutatja, hogy: .
Az tartalmazza az összes valós számot. Ezt az intervallumok skatulyázása mutatja meg, amivel minden egyes valós szám egyértelműen előáll. Az már tartalmazza a alakú számokat. Ezekkel a számokkal mint határpontokkal már minden valós szám skatulyázható. A kisebb végpontokat felvesszük a bal, a nagyobb végpontokat a jobb halmazba, és ezzel már meg is adtuk a valós számot.
De más számokat is tartalmaz, például a következő infinitezinális számot:
- .
Könnyű látni, hogy ez a szám pozitív, de minden pozitív törtnél kisebb. A szürreális számok között nem ez az egyedüli infinitezimális szám, hiszen:
- ,
- .
amelyeket az tartalmaz.
Emellett végtelen nagy számok is találhatók már -ben, mint például
- .
Ez a szám nagyobb, mint minden eleme, többek között mint minden egész szám. Megfelel az -nak, ami címkéje. Ekvivalensen,
- .
Minden rendszám megjelenik a szürreális számok között.
Mivel az összeadás és a szorzás minden szürreális számra definiálva van, az szürreális számmal ugyanúgy számolhatunk, mint a többivel:
- és
- .
Ez nagyobb tagokra is teljesül:
- ,
- ,
- ,
és még magával az szürreális számmal:
ahol mint fent.
Ahogy nagyobb, mint , az kisebb, mint , mivel
ahol .
Végül megtaláljuk az összefüggést és között, hiszen
- .
Ügyelni kell arra, hogy ebben a számkörben másként viselkednek a rendszámok, mint egyébként: rendszámként , míg szürreális számként .
A szürreális számok konstrukciójával annyi szám konstruálható, hogy nincs halmaz, ami befogadná az összest; a szürreális számok valódi osztályt alkotnak, ezért nem alkotnak rendezett testet sem.
Mivel minden szürreális szám megalkotható nála öregebb szürreális számokból, használható a transzfinit rekurzió elve. Ehhez azt kell megmutatni, hogy ha egy tulajdonság teljesül és elemeire, akkor az szürreális számra is teljesül.
Alternatív definíciók
[szerkesztés]Előjelfüggvények
[szerkesztés]Egy alternatív értelmezésben a szürreális számok a rendszámokból a { −1, +1 } halmazba képező függvények. Két ilyen függvény közül x egyszerűbb, mint y, ha x leszűkítése y-nak, vagyis minden olyan helyen, ahol x értelmezve van, ott y is értelmezve van, és értékeik megegyeznek.
A szürreális számok értelmezéséhez az értelmezési tartományon kívüli elemeket -1-nél nagyobbnak és 1-nél kisebbnek tekintjük. Így x < y, ha ezek közül valamelyik teljesül:
- x egyszerűbb, mint y, és y(dom(x)) = + 1;
- y egyszerűbb, mint x, és 'x(dom(y)) = − 1;
- van egy z, hogy z egyszerűbb, mint x és y, és x(dom(z)) = − 1 és y(dom(z)) = + 1.
Ekvivalensen, legyen δ(x,y) = min({ dom(x), dom(y)} ∪ { α : α < dom(x) ∧ α < dom(y) ∧ x(α) ≠ y(α) }), úgy, hogyx = y akkor és csak akkor, ha δ(x,y) = dom(x) = dom(y). Ekkor az x és y számokra x < y akkor és csak aklkor teljesül, ha:
- δ(x,y) = dom(x) ∧ δ(x,y) < dom(y) ∧ y(δ(x,y)) = + 1;
- δ(x,y) < dom(x) ∧ δ(x,y) = dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = − 1;
- δ(x,y) < dom(x) ∧ δ(x,y) < dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = − 1 ∧ y(δ(x,y)) = + 1.
Az x és y számokra x ≤ y akkor és csak akkor, ha x < y ∨ x = y, és x > y akkor és csak akkor, ha y < x. Tehát x ≥ y akkor és csak akkor, ha y ≤ x.
Az így bevezetett < reláció tranzitív, és trikhotómia is teljesül, azaz akárhogy választjuk az x, y számokat, x < y, x = y, vagy x > y valamelyike fennáll. Ez azt jelenti, hogy < teljes rendezés (egy valódi osztályon).
Az L és R halmazokra, ha ∀x ∈ L ∀y ∈ R (x < y), akkor egyértelműen van egy z szám, hogy
- ∀x ∈ L (x < z) ∧ ∀y ∈ R (z < y),
- Minden w számra, amire ∀x ∈ L (x < w) ∧ ∀y ∈ R (w < y), w = z vagy z egyszerűbb, mint w.
Továbbá z konstruálható az L és R halmazokból transzfinit indukcióval: z a legegyszerűbb szám L és R között. Jelölje ezt az egyértelmű z számot σ(L,R).
Egy x számra definiáljuk az L(x) bal és az R(x) jobb halmazt a következőképpen:
- L(x) = { x|α : α < dom(x) ∧ x(α) = + 1 };
- R(x) = { x|α : α < dom(x) ∧ x(α) = − 1 },
akkor σ(L(x),R(x)) = x.
A konstrukció előnye az, hogy az egyenlőséget eleve ekvivalenciarelációként vezeti be. Hátránya az, hogy Conway konstrukciójával szemben a rendszámokat már meglevőnek és rendezettnek tételezi fel, míg Conway konstrukciójában a szürreális számokkal együtt vannak megkonstruálva.
Vannak hasonló konstrukciók, amelyek elkerülik a szürreális számok rendezését. A függvényeket az eddig definiált szürreális számokon értelmezzük, értékkészletük { −, + }; továbbá feltesszük, hogy ∀g ∈ dom f (∀h ∈ dom g (h ∈ dom f )). Ezzel az egyszerűbb, mint definíciója is egyszerű: x egyszerűbb, mint y, ha x ∈ dom y. A teljes rendezés az összes elemet rendezett párnak tekinti: vagy x = y, vagy a z = x ∩ y szürreális szám x vagy y (vagy mindkettő) értelmezési tartományában van. Ekkor teljesül x < y, ha x(z) = − vagy y(z) = + . Az előjelsorozatokká való konvertáláshoz fel kell sorolni az értelmezési tartomány elemeit egyszerűség szerint, és hozzájuk leírni az előjeleket. Ezek közül azok lesznek a rendszámok, melyek értékkészlete { + }.
Összeadás és szorzás
[szerkesztés]Az x és y számok összegét dom(x) és dom(y) halmazok indukciója alapján definiálhatjuk:
- x + y = σ(L,R), ahol
- L = { u + y : u ∈ L(x) } ∪{ x + v : v ∈ L(y) },
- R = { u + y : u ∈ R(x) } ∪{ x + v : v ∈ R(y) }.
A nullelem a 0 = { }, vagyis a nulla az üres függvény. Ha x szám, akkor ellentettje −x, ahol dom(− x) = dom(x), és az értékek ellentettjükre változnak, azaz α < dom(x), (− x)(α) = − 1 ha x(α) = + 1, és (− x)(α) = + 1 ha x(α) = − 1.
Következik, hogy ha x szürreális szám, akkor x pozitív, ha 0 < dom(x), és x(0) = + 1, és x negatív, ha 0 < dom(x) és x(0) = − 1.
Ha x és y szürreális számok, akkor szorzatukat xy jelöli. Ezt induktívan definiáljuk a következőképpen:
- dom(x) és dom(y) alapján xy = σ(L,R), ahol
- L = { uy + xv − uv : u ∈ L(x), v ∈ L(y) } ∪ { uy + xv − uv : u ∈ R(x), v ∈ R(y) },
- R = { uy + xv − uv : u ∈ L(x), v ∈ R(y) } ∪ { uy + xv − uv : u ∈ R(x), v ∈ L(y) }.
Az egységelem az 1 = { (0,+ 1) } szürreális szám, 1(0) = + 1.
Megfeleltetés Conway konstrukciójával
[szerkesztés]Conway reprezentációjáról az előjelekre ezzel térhetünk át: f({ L | R }) = σ(M,S), ahol M = { f(x) : x ∈ L } és S = { f(x) : x ∈ R }.
Conway reprezentációjára úgy térhetünk át, hogy g(x) = { L | R }, ahol L = { g(y) : y ∈ L(x) } és R = { g(y) : y ∈ R(x) }.
Axiomatikus megközelítés
[szerkesztés]Alling a közvetlen konstrukció helyett axiómákkal építette fel a szürreális számokat. Axiómarendszere izomorfizmus erejéig egyértelműen jellemzi a szürreális számokat.[1]
Egy hármas szürreális számrendszer, ha teljesíti a következőket:
- < teljes rendezése No-nak.
- értelmezve van egy b születésnapfüggvény No-ról a rendszámokba.
- Legyenek A és B részosztályai No-nak, hogy minden x ∈ A és y ∈ B elemre x < y, vagyis 〈 A,B 〉No Conway-szelete. Ekkor van egy z ∈ No, hogy b(z) minimális, és minden x ∈ A és y ∈ B-re x < z < y. (Conway egyszerűségi tétele).
- Továbbá, ha α nagyobb, mint b(x) minden x ∈ A, B elemre, akkor b(z) ≤ α. Alling megfogalmazásában ez teszi teljessé a szürreális számrendszert.
Conway konstrukciója és az előjelfüggvényes konstrukció megfelel ezeknek az axiómáknak.
Ezekkel az axiómákkal Alling levezette Conway definícióját a ≤ relációra és megalkotta az aritmetikát is.
Hahn-sorok
[szerkesztés]Alling azt is belátta,[2] hogy a szürreális számok struktúrája izomorf a valós együtthatós Hahn-sorozatokkal, amiknek értékei éppen a szürreális számok. Ez kapcsolatot teremt a szürreális számok és a rendezett testek elméletének konvencionálisabb matematikai megközelítése között.
Ez az izomorfizmus a szürreális számokat megfelelteti egy értékkel ellátott testnek, ahol a kiértékelés additív inverze a Conway-normálforma főegyütthatójának kitevőjének, például ν(ω) = -1. Ez a kiértékelésgyűrű a véges szürreális számokból áll. Az előjel megváltoztatása arra vezethető vissza, hogy a Conway-normálforma egy jólrendezett halmaz megfordítása, míg a Hahn-sorokat az értékcsoport jólrendezett részhalmazaival definiálják.
Halmazelméleti fontosság
[szerkesztés]A szürreális számok valódi osztályt alkotnak a Zermelo-Fraenkel halmazelméleti axiómarendszerben. Ez belátható azzal, hogy már maguk a rendszámok is valódi osztályt alkotnak. Mivel a definíció halmazokat említ, ezért a valódi osztályok nem kerülhetnek az egyik oldalra sem. Nem lehet az egyik sem egyenlő az összes szürreális számmal, vagy csak az összes rendszámmal, így elkerülhetők bizonyos paradoxonok.
Kapcsolat a hiperreális számokkal
[szerkesztés]Philip Ehrlich izomorfizmust konstruált a Conway konstrukciójával felépített szürreális számok és a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet maximális hiperreálisai között.[3]
Komplexen túli számok
[szerkesztés]A komplexen túli számok a komplex számokhoz hasonlóan képezhetők a szürreális számokból, vagyis alakúak, ahol a és b szürreális szám.[4][5] A komplexen túli számok algebrailag zárt testszerű struktúrát alkotnak, ami izomorf a racionális számok független transzcendens elemekből alkotott valódi osztályával vett kiterjesztésével generált test algebrai lezártjával. Izomorfia erejéig ez jellemzi a komplexen túli számokat.[6]
Általánosítás
[szerkesztés]A konstrukció a halmaz szó mellett még azt a kikötést is tartalmazza, hogy a bal halmaz elemei kisebbek a jobb halmaz elemeinél. Ha ezt a korlátozást elhagyjuk, akkor a játék fogalmához jutunk. Tehát a játékok konstrukciós szabálya:
- Ha és játékok halmaza, akkor játék.
Az összehasonlítás és a műveletek definíciója ugyanaz, mint a szürreális számoknál.
Minden szürreális szám játék, de fordítva ez már nem igaz; vannak nem jól formált játékok is, például a . A játékok osztálya általánosabb, és nem is teljesül rájuk az összes tulajdonság, mint ami a szürreális számokra. Nem alkotnak rendezett testhez hasonló struktúrát, mivel a rendezés csak részben rendezés. A szürreális számok lehetnek pozitívok, negatívok, és nullával egyenlők; egy játék lehet, hogy nem hasonlítható össze a nullával, ekkor fuzzynak nevezzük. Sőt, már maga a testszerűség is sérül, hiszen ha , , játékok, és , akkor nem biztos, hogy .
Kapcsolat a játékelmélettel
[szerkesztés]Eredetileg a go motiválta a szürreális számokat, és számos kapcsolat áll fenn ismert játékok és a szürreális számok között. A játékról a következőket tesszük fel:
- Determinisztikus, nincs kockadobás vagy kártyapakli.
- Ketten játszanak, Bal és Jobb.
- Nincsenek rejtett információk, mint a lefordított kártyalapok.
- A játékosok felváltva lépnek.
- Minden játék véges sok lépés után véget ér valamelyik játékos győzelmével.
- Ha egy játékos nem tud lépni, akkor veszít, és a játék véget ér. A sakkban lehet, hogy ilyenkor döntetlen az eredmény.
Ilyen játék a sakk, a dáma, a go és a malom, de nem ilyen a legtöbb kártyajáték.
A legtöbb játékban kezdetben a két játékos helyzete szimmetrikus. Nem ilyen például a hnefatafl. A játék folyamán az egyes lépések nyomán kialakulnak olyan helyzetek, amelyikben az egyik fél előnyben van, például gyalogelőny, vagy helyzeti előny a sakkban. A parti elemzéséhez minden álláshoz hozzárendelnek egy játékot. Egy helyzet értéke egy játék, ahol L tartalmazza azokat a helyzeteket, amiket Bal lépése hozhat létre, és R azokat a helyzeteket, amelyek Jobb lépése nyomán jöhetnek létre. Ez a módszer érdekes eredményeket ad. Tegyük fel, hogy két, tökéletesen játszó játékos egy olyan helyzetben találja magát, amit egy x játék ír le. Ekkor a következőképpen meg lehet jósolni a győztest:
- Ha , akkor Bal nyer.
- Ha , akkor Jobb nyer.
- Ha , akkor a lépésen levő játékos veszít.
- Ha x fuzzy, akkor a lépésen levő játékos nyer.
Egyes játékokban a végjátékban a játék több különálló részre esik szét. Ilyen például a go, amiben a semleges terület több kisebb részre szakad, amelyek mindegyike önáll�� kis gopartiként viselkedik. Hasznos lenne ezeket külön elemezni, és az eredményeket kombinálni, Ez azonban nem könnyű feladat. Lehet, hogy külön-külön ugyanaz a játékos nyerne, de együtt már a másik játékos nyer. Azonban ennek is megvan a módja:
Tétel: Ha egy parti két kisebb, független partira osztható, amiket az x és y játékok adnak meg, akkor az összjáték az x + y játékkal jellemezhető.
Szavakkal: A parti megkapható független részjátékainak összegeként.
Történetük
[szerkesztés]Conway a szürreális számokat csak a játékok után fedezte fel. A játékokra lazább szabályok vonatkoznak; a nem jólformált szürreális számok is játékok. A go végjátékait elemezte, és olyan módszert próbált kidolgozni, amivel kombinálhatók az egyes részjátékok. Így fejlesztette ki a kombinatorikus játékelméletet, amiben a játékokra definiálható az összeadás, az ellentettképzés és az összehasonlítás. Csak később vette észre, hogy a játékok egy bizonyos osztálya érdekes tulajdonságokkal bír, és ellátta őket szorzással, amivel teljesülnek a kívánt tulajdonságok, és amivel megmutatható, hogy a valós számok is közöttük vannak.
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Alling, Norman L.. Foundations of Analysis over Surreal Number Fields, Mathematics Studies 141. North-Holland (1987). ISBN 0-444-70226-1
- ↑ Alling, op. cit., theorem of §6.55 (p. 246)
- ↑ Philip Ehrlich (2012). „The absolute arithmetic continuum and the unification of all numbers great and small”. The Bulletin of Symbolic Logic 18 (1), 1–45. o. DOI:10.2178/bsl/1327328438. (Hozzáférés: 2012. január 29.)
- ↑ Surreal vectors and the game of Cutblock, James Propp, August 22, 1994.
- ↑ N. L. Alling, Foundations of analysis over surreal number fields, N. L. Alling, Amsterdam: North-Holland, 1987. ISBN 0-444-70226-1.
- ↑ Theorem 27, On Numbers and Games, John H. Conway, 2nd ed., Natick, Massachusetts: A K Peters, Ltd., 2000. ISBN 1-56881-127-6.
Források
[szerkesztés]- http://www.tondering.dk/download/sur16.pdf Claus Tøndering: Bevezetés a szürreális számok körébe.
Fordítás
[szerkesztés]- Ez a szócikk részben vagy egészben a Surreale Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Surreal number című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.