Fungsi Lipschitz
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Lipschitz_Visualisierung.gif/220px-Lipschitz_Visualisierung.gif)
Dalam analisis matematika, fungsi Lipschitz adalah fungsi yang memenuhi sifat kekontinuan Lipschitz; sebuah bentuk tegas sifat kekontinuan seragam untuk fungsi. Fungsi dan sifat kekontinuan ini dinamai dengan nama matematikawan Jerman Rudolf Lipschitz. Secara intuitif, fungsi kontinu Lipschitz memiliki batasan seberapa cepat nilainya dapat berubah: ada sebuah bilangan real sehingga untuk setiap garis yang dibentuk dari sembarang dua titik di grafik fungsi, nilai mutlak dari besar kemiringan garis tersebut tidak akan melebihi bilangan real tersebut. Sebagai contoh, setiap fungsi yang turunan pertamanya terbatas termasuk fungsi kontinu Lipschitz.[1] Bilangan real terkecil yang memenuhi sifat kekontinuan Lipschitz disebut dengan konstanta Lipschitz dari fungsi.
Dalam teori persamaan diferensial, kekontinuan Lipschitz adalah kondisi penting pada teorema Picard–Lindelöf yang menyatakan keberadaan dan keunikan solusi masalah nilai awal. Bentuk khusus dari kekontinuan Lipschitz, yang disebut kontraksi, digunakan dalam teorema titik-tetap Banach.[2]
Berikut adalah rantai subset untuk fungsi atas interval tertutup dan terbatas (dan tidak trivial) pada garis bilangan:
- Terdiferensialkan seragam ⊂ kontinu Lipschitz ⊂ kontinu Hölder-α
dengan 0 < α ≤ 1. Selain itu, juga terdapat hubungan
- Kontinu Lipschitz ⊂ kontinu absolut.
Definisi
[sunting | sunting sumber]Untuk dua ruang metrik dan , dengan menyatakan metrik pada himpunan dan menyatakan metrik pada himpunan , sebuah fungsi dikatakan kontinu Lipschitz jika ada konstanta real sedemikian sehingga, untuk semua dan di akan berlaku
Setiap yang memenuhi pernyataan di atas disebut sebagai konstanta Lipschitz untuk fungsi , walau terkadang istilah ini merujuk pada nilai yang terkecil. Fungsi terkadang juga disebut fungsi Lipschitz-. Secara khusus, sebuah fungsi bernilai real disebut kontinu Lipschitz jika ada bilangan real positif sehingga untuk setiap real dan , berlaku
Dalam kasus ini adalah himpunan bilangan real dengan metrik standar , dan adalah subset dari .
Secara umum, pertidaksamaan (secara trivial) terpenuhi ketika . Selain kasus itu, fungsi kontinu Lipschitz dapat didefinisikan dengan keberadaan konstanta sehingga untuk semua ,
Untuk fungsi multivariabel bernilai real, definisi terpenuhi jika dan hanya jika semua nilai mutlak kemiringan garis sekan pada fungsi terbatas oleh . Himpunan semua garis sekan pada fungsi dapat digunakan untuk membentuk kerucut ganda (lihat gambar), dan sebuah fungsi dikatakn Lipschitz jika dan hanya jika keseluruhan fungsi terletak di luar kerucut ganda ini.
Sebuah fungsi dikatakan kontinu Lipschitz [secara] lokal jika untuk setiap ada sebuah lingkungan dari sehingga kontinu Lipschitz di .
Secara lebih umum, sebuah fungsi yang terdefinisi pada dikatakan kontinu Hölder atau memenuhi kondisi Hölder pangkat (orde) pada , jika ada sebuah konstanta sedemikian sehingga
untuk semua dan di . Terkadang kondisi Hölder pangkat α juga disebut sebagai kondisi Lipschitz seragam pangkat .
Jika terdapat dengan
maka dikatakan bilipschitz atau bi-Lipschitz. Pemetaan bilipschitz bersifat injektif, dan faktanya sebuah homeomorfisme ke citranya. Sebuah fungsi bilipschitz sama dengan fungsi Lipschitz injektif yang fungsi inversnya juga merupakan fungsi Lipschitz.
Referensi
[sunting | sunting sumber]- ^ Sohrab, H. H. (2003). Basic Real Analysis. 231. Birkhäuser. hlm. 142. ISBN 0-8176-4211-0. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-26. Diakses tanggal 2022-03-12.
- ^ Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2001). Elementary Real Analysis. Prentice-Hall. hlm. 623. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-26. Diakses tanggal 2022-03-12.
- ^ Searcóid, Mícheál Ó (2006), "Lipschitz Functions", Metric Spaces, Springer undergraduate mathematics series, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84628-369-7, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-26, diakses tanggal 2022-03-12