Grup kuaternion
Struktur aljabar → Teori grup Teori grup |
---|
![]() |
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/GroupDiagramQ8.svg/240px-GroupDiagramQ8.svg.png)
Dalam teori grup, grup angka empat Q8 (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah grup non-abelian dari urutan delapan, isomorfik ke himpunan bagian delapan elemen dari angka empat di bawah perkalian. Ini diberikan oleh presentasi grup
di mana e adalah elemen identitas dan e komutatif dengan elemen lain dalam grup.
Presentasi Q 8 lainnya adalah:
Dibandingkan dengan grup dihedral
[sunting | sunting sumber]Grup quaternion Q 8 memiliki urutan yang sama dengan grup dihedral D4, tetapi strukturnya berbeda, seperti yang ditunjukkan oleh grafik Cayley dan siklusnya:
Q8 | D4 | |
---|---|---|
Grafik Cayley | ![]() Panah merah terhubung g→gi, koneksi hijau g→gj. |
![]() |
Grafik siklus | ![]() |
![]() |
Dalam diagram untuk D 4 , elemen grup ditandai dengan aksinya pada huruf F dalam representasi yang menentukan R2. Hal yang sama tidak dapat dilakukan untuk Q 8 , karena tidak memiliki representasi yang tepat di R2 atau R3. D4 dapat direalisasikan sebagai bagian dari pemmbagi angka empat dengan cara yang sama seperti Q 8 dapat dilihat sebagai himpunan bagian dari angka empat.
Tabel Cayley
[sunting | sunting sumber]Tabel Cayley (tabel perkalian) untuk Q 8 diberikan oleh:[1]
× | e | e | i | i | j | j | k | k |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
e | e | e | i | i | j | j | k | k |
e | e | e | i | i | j | j | k | k |
i | i | i | e | e | k | k | j | j |
i | i | i | e | e | k | k | j | j |
j | j | j | k | k | e | e | i | i |
j | j | j | k | k | e | e | i | i |
k | k | k | j | j | i | i | e | e |
k | k | k | j | j | i | i | e | e |
Sifat
[sunting | sunting sumber]Perhatikan bahwa i , j , dan k semuanya memiliki urutan empat di Q 8 dan dua di antaranya menghasilkan seluruh grup. Presentasi lainnya dari Q8[2] berdasarkan hanya dua elemen untuk melewati redundansi ini adalah:
Seseorang mungkin mengambil, misalnya, , dan .
Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai Hamiltonian: Q8 non-abelian, tetapi setiap subgrup adalah normal.[3] Every Hamiltonian group contains a copy of Q8.[4]
Grup angka empat Q 8 dan grup dihedral D 4 adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian nilpoten.
Pusat dan subgrup komutator dari Q 8 adalah subgrup . Grup automorfisme dalam dari Q 8 diberikan oleh grup modulo pusatnya, yaitu grup faktor Q8/{e,e}, untukmu isomorfik ke grup empat Klein V. Grup automorfisme dari Q 8 adalah isomorfik sampai S 4 , grup simetris pada empat huruf (lihat Representasi matriks di bawah), dan grup automorfisme luar dari Q 8 adalah S4/V, yang isomorfik ke S3.
Grup angka empat Q 8 memiliki lima kelas konjugasi, {e }, { e }, { i, i }, { j, j }, { k, k }, dan lima representasi tak tersederhanakan di atas bilangan kompleks, dengan dimensi 1,1,1,1,2:
Representasi trivial
Tanda tangani representasi dengan i, j, k-kernel: Q8 memiliki tiga subgrup normal maksimal: subgrup siklik yang dihasilkan oleh i, j, dan k. Untuk setiap subkelompok normal maksimal N , kita mendapatkan representasi satu dimensi yang memfaktorkan melalui 2-elemen grup hasil bagi G/N. Representasi mengirimkan elemen N ke 1, dan elemen di luar N ke -1.
Representasi 2 dimensi: Dijelaskan di bawah dalam Representasi matriks .
Tabel karakter dari Q 8 ternyata sama dengan D4:
Representasi (ρ)/kelas konjugasi | { e } | { e } | { i, i } | { j, j } | { k, k } |
---|---|---|---|---|---|
Representasi trivial | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Tanda representasi dengan i-kernel | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 |
Tanda representasi dengan j-kernel | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 |
Tanda representasi dengan k-kernel | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 |
Representasi 2 dimensi | 2 | -2 | 0 | 0 | 0 |
Karena karakter yang tidak dapat direduksi pada baris di atas memiliki nilai riil, ini memberikan dekomposisi dari aljabar grup nyata dari menjadi minimal dua sisi ideal: , di mana idempotensi sesuai dengan irreducibles: , seperti
.
Masing-masing dari cita-cita tak tersederhanakan ini isomorfik ke aljabar sederhana pusat nyata, empat pertama ke bidang nyata . Ideal terakhir isomorfik terhadap bidang miring dari angka empat dengan korespondensi:
Selanjutnya, proyeksi homomorfisme diberikan oleh memiliki ideal kernel yang dihasilkan oleh idempoten:
sehingga angka empat juga bisa diperoleh sebagai gelanggang hasil bagi .
Aljabar grup kompleks dengan demikian , dimana adalah aljabar dari bikuaternion.
Representasi matriks
[sunting | sunting sumber]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Quaternion_group%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_SL%282%2CC%29.svg/220px-Quaternion_group%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_SL%282%2CC%29.svg.png)
Kompleks tak tersederhanakan dua dimensi representasi yang dijelaskan di atas memberikan grup kuatnion Q8 sebagai subgrup dari grup linier umum . Grup kuaternion adalah subgrup perkalian dari aljabar quaternion , yang memiliki representasi reguler perkalian kiri dengan sendirinya dianggap sebagai ruang vektor kompleks dengan basis , sehingga sesuai dengan C-pemetaan linier . Representasi yang dihasilkan diberikan oleh:
Karena semua matriks di atas memiliki determinan unit, ini adalah representasi dari Q 8 dalam grup linear khusus SL2(C).[5]
Varian memberikan representasi oleh matriks kesatuan (tabel di kanan). Maka sesuai dengan pemetaan linier , sehingga diberikan oleh:
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Quaternion_group%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_SL%282%2C3%29.svg/220px-Quaternion_group%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_SL%282%2C3%29.svg.png)
Ada juga tindakan penting Q 8 pada ruang vektor 2 dimensi di atas bidang berhingga F3 = {0,1,−1} (tabel di kanan). Representasi modular diberikan oleh
Representasi ini dapat diperoleh dari bidang ekstensi F9 = F3[k] = F31 + F3k, dimana k2 = −1 dan grup perkalian (F9)× memiliki generator ±(k+1), ±(k-1) urutan 8. Dua dimensi F3-ruang vektor F9 mengakui pemetaan linier untuk z pada F9, serta Automorfisme Frobenius satisfying dan . Maka matriks representasi di atas adalah , , , dan .
Grup Galois
[sunting | sunting sumber]Seperti yang ditunjukkan Richard Dean pada tahun 1981, grup kuaternion dapat ditampilkan sebagai grup Galois Gal(T/Q) dimana Q adalah bidang bilangan rasional dan T adalah bidang pemisah di atas Q dari polinomial
- .
Pengembangan menggunakan teorema fundamental teori Galois dalam menentukan empat bidang perantara antara Q dan T dan grup Galois mereka, serta dua teorema tentang ekstensi siklik derajat empat di atas bidang.[6]
Grup angka empat digeneralisasi
[sunting | sunting sumber]Grup kuatnion umum Q4n urutan 4n ditentukan oleh presentasi[2]
untuk bilangan bulat n ≥ 2, dengan kelompok angka empat yang biasa diberikan oleh n = 2.[7] Coxeter menggunakan Q4n grup siklik , kasus khusus dari grup polihedral biner dan terkait dengan grup polihedral dan grup dihedral . Grup quaternion umum dapat direalisasikan sebagai subgrup dihasilkan oleh
dimana .[2] Ini juga dapat direalisasikan sebagai subgrup unit quaternions yang dihasilkan oleh[8] dan .
Grup quaternion umum memiliki properti bahwa setiap subgrup abelian bersiklus.[9] Dapat diperlihatkan bahwa p-group dengan properti ini (setiap subgrup abelian adalah siklik) bisa berupa siklik atau grup quaternion umum seperti yang didefinisikan di atas.[10] Karakterisasi lain adalah bahwa sebuah grup p terbatas yang di dalamnya terdapat subgrup unik dari ordo p adalah siklik atau 2-grup isomorfik ke grup quaternion umum.[11] Secara khusus, untuk bidang hingga F dengan karakteristik ganjil, subgrup 2-Sylow dari SL2(F) non-abelian dan hanya memiliki satu subgrup orde 2, jadi subgrup 2-Sylow ini harus menjadi grup quaternion umum, (Gorenstein 1980, hlm. 42). Maka pr menjadi ukuran F , di mana p adalah bilangan prima, ukuran subgrup 2-Sylow dari SL2(F) adalah 2n, dimana n = ord2(p2 − 1) + ord2(r).
Teorema Brauer–Suzuki menunjukkan bahwa grup yang subgrup Sylow 2-nya digeneralisasikan quaternion tidak bisa sederhana.
Terminologi lain mencadangkan nama "grup kuatnion umum" untuk kelompok siklik urutan pangkat 2,[12] yang mengakui presentasi
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]- sel-16
- Grup tetrahedral biner
- Aljabar Clifford
- Grup dikiklik
- Angka empat integral Hurwitz
- Daftar grup kecil
Catatan
[sunting | sunting sumber]- ^ See also a table Diarsipkan 2018-04-28 di Wayback Machine. dari Wolfram Alpha
- ^ a b c Johnson 1980, pp. 44–45
- ^ See Hall (1999), p. 190 Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine.
- ^ See Kurosh (1979), p. 67
- ^ Artin 1991
- ^ Dean, Richard (1981). "A Rational Polynomial whose Group is the Quaternions". The American Mathematical Monthly. 88 (1): 42–45. JSTOR 2320711.
- ^ Beberapa penulis Rotman 1995, hlm. 87, 351) merujuk ke grup ini sebagai grup disiklik, menyimpan nama grup quaternion umum untuk kasus di mana n adalah pangkat 2.
- ^ Brown 1982, p. 98
- ^ Brown 1982, p. 101, exercise 1
- ^ Cartan & Eilenberg 1999, Theorem 11.6, p. 262
- ^ Brown 1982, Theorem 4.3, p. 99
- ^ Roman, Steven (2011). Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach. Springer. hlm. 347–348. ISBN 9780817683016.
Referensi
[sunting | sunting sumber]- Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2
- Brown, Kenneth S. (1982), Cohomology of groups (edisi ke-3rd), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1
- Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999), Homological Algebra, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5
- Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
- Dean, Richard A. (1981) "A rational polynomial whose group is the quaternions", American Mathematical Monthly 88:42–5.
- Gorenstein, D. (1980), Finite Groups, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
- Johnson, David L. (1980), Topics in the theory of group presentations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-23108-4, MR 0695161
- Rotman, Joseph J. (1995), An introduction to the theory of groups (edisi ke-4th), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8
- P.R. Girard (1984) "The quaternion group and modern physics", European Journal of Physics 5:25–32.
- Hall, Marshall (1999), The theory of groups (edisi ke-2nd), AMS Bookstore, ISBN 0-8218-1967-4
- Kurosh, Alexander G. (1979), Theory of Groups, AMS Bookstore, ISBN 0-8284-0107-1
Pranala luar
[sunting | sunting sumber]- (Inggris) Weisstein, Eric W. "Quaternion group". MathWorld.
- Quaternion groups on GroupNames Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine.
- Quaternion group on GroupProps Diarsipkan 2023-05-14 di Wayback Machine.
- Conrad, Keith. "Generalized Quaternions" Diarsipkan 2023-06-02 di Wayback Machine.