Implicazione inversa
Nella logica e nella matematica, la inversione di un'affermazione categoriale o implicazionale è il risultato dell'inversione delle sue due affermazioni costituenti. Per l'implicazione P → Q, il contrario è Q → P. Per la proposizione categorica "Ogni S è P", il contrario è "Ogni P è S". In ogni caso, la verità del contrario è generalmente indipendente da quella dell'affermazione originale.[1]
Inversione implicita
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(l’area di colore bianco mostra dove la proposizione è falsa)
Sia S una proposizione della forma P implica Q (P → Q). Allora l'inverso di S è l'affermazione Q implica P (Q → P). In generale, la verità di S non dice nulla sulla verità del suo inverso[2], a meno che l'antecedente P e la conseguente Q non siano logicamente equivalenti.
Ad esempio, si consideri la vera affermazione "Se sono un umano, allora sono mortale". Il contrario di tale affermazione è "Se sono mortale, allora sono un umano", il che non è necessariamente vero.
Resta invece vero il contrario di un enunciato quando i termini si includono a vicenda, data la verità della proposizione originaria. Ciò equivale a dire che è vero il contrario di una definizione. Pertanto, l'affermazione "Se sono un triangolo, allora sono un poligono a tre lati" è logicamente equivalente a "Se sono un poligono a tre lati, allora sono un triangolo", perché la definizione di "triangolo" è "poligono a tre lati". I due termini intermedi "triangolo" e "poligono a tre lati" si appartengono reciprocamente e sono quindi tra loto equivalenti.
Una tavola di verità chiarisce che S e il contrario di S non sono logicamente equivalenti, a meno che entrambi i termini non si implichino a vicenda:
(inversione) | |||
Vero | Vero | Vero | Vero |
Vero | Falso | Falso | Vero |
Falso | Vero | Vero | Falso |
Falso | Falso | Vero | Vero |
L'errore di affermare il conseguente consiste nel passare da un enunciato al suo contrario. Tuttavia, se l'affermazione S e il suo inverso sono equivalenti (cioè, P è vero se e solo se anche Q è vero), allora sarà valido affermare anche il conseguente.
L'implicazione inversa è logicamente equivalente alla disgiunzione di e :
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Nel linguaggio naturale, questo potrebbe essere reso "non Q senza P ".
Inversione di un teorema
[modifica | modifica wikitesto]In matematica, l'inverso di un teorema della forma P → Q sarà Q → P. Il contrario può o non può essere vero, e anche qualora sia vero, la dimostrazione può risultare difficile. Ad esempio, il teorema dei quattro vertici è stato dimostrato nel 1912, ma il suo contrario è stato dimostrato solo nel 1997.[3]
In pratica, quando si determina il contrario di un teorema matematico, gli aspetti dell'antecedente possono essere assunti per stabilire il contesto: il contrario di "Dato P, se Q allora R "sarà "Dato P, se R allora Q". Ad esempio, il teorema di Pitagora può essere affermato come:
- Dato un triangolo con i lati a e b, e lunghezza c, se l'angolo opposto al lato della lunghezza c è un angolo retto, allora .
Il contrario, che appare anche negli Elementi di Euclide (Libro I, proposizione 48), può essere affermato come:
- Dato un triangolo con i lati di lunghezza a e b e base di lunghezza c, se , allora l'angolo opposto al lato della lunghezza c è un angolo retto.
Inversione di una relazione
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Se è una relazione binaria con , allora la relazione inversa è detta trasposta.[4]
Notazione
[modifica | modifica wikitesto]La inversione di un’implicazione P → Q può essere scritta , ma può anche esser denotata come , oppure "Bpq" (nella notazione di Józef Maria Bocheński).
Inversione di una proposizione categorica
[modifica | modifica wikitesto]Nella logica tradizionale, si dice inversione il processo che porta a sostituire il termine soggetto con il termine predicato. Ad esempio, "Nessun S è P" si inverte in "Nessun P è S". Nelle parole di Asa Mahan:
«La proposizione originaria si chiama "exposita"; una volta invertita, si chiama "inversa". L'inversione è valida quando, e solo quando, nulla è affermato nell'inversa che non sia affermato o implicito nell'exposita.[5]»
L'"exposita" è più comunemente chiamata invertenda (lett. proposizione che deve essere invertita). Nella sua forma semplice, la inversione vale solo per le proposizioni di tipo E ed I[6]:
Tipo | Invertenda | Inversione semplice | Inversione per accidens (valida se P esiste) |
---|---|---|---|
A | Ogni S è P | non valida | Qualche P è S |
E | Nessun S è P | Nessun P è S | Qualche P è non-S |
I | Qualche S è P | Qualche P è S | – |
O | Qualche S è non- P | non valida | – |
La validità della semplice inversione solo per le proposizioni E e I può essere espressa dalla restrizione che "Nessun termine deve essere distribuito nell'inversa che non sia già distribuito nella invertenda".[7] Per le proposizioni di tipo E sia il soggetto che l predicato sono distribuiti[8], mentre nelle proposizioni di tipo I non lo sono né il soggetto né il predicato.
Per le proposizioni di tipo A, il soggetto è distribuito mentre il predicato non lo è, e quindi l'inferenza da un'affermazione A al suo contrario non è valida. Ad esempio, per la proposizione A "Tutti i gatti sono mammiferi", il contrario "Tutti i mammiferi sono gatti" è ovviamente falso. Tuttavia, l'affermazione più debole "Alcuni mammiferi sono gatti" è vera. I logici definiscono inversione per accidens il processo di produzione di questa affermazione più debole. L'inferenza da un'affermazione al suo inverso per accidens è generalmente valida. Tuttavia, come per i sillogismi, questo passaggio dall'universale al particolare causa problemi con le categorie vuote: "Tutti gli unicorni sono mammiferi" è spesso considerato vero, mentre l'inversione per accidens "Alcuni mammiferi sono unicorni" è chiaramente falsa.
Nel calcolo dei predicati del primo ordine, la proposizione "Ogni S è P" può essere rappresentata come .[9] È quindi chiaro che l'inverso categoriale è strettamente correlato all'inverso implicazionale e che S e P non sono intercambiabili nella proposizione "Ogni S è P".
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Robert Audi, ed. (1999), The Cambridge Dictionary of Philosophy, 2nd ed., Cambridge University Press: "converse".
- ^ (EN) Courtney Taylor, What Are the Converse, Contrapositive, and Inverse?, su ThoughtCo.
- ^ Clay Shonkwiler, The Four Vertex Theorem and its Converse (PDF), su math.colostate.edu, 6 ottobre, 2006.
- ^ Gunther Schmidt & Thomas Ströhlein (1993) Relations and Graphs, p. 9, Springer books
- ^ Asa Mahan (1857) The Science of Logic: or, An Analysis of the Laws of Thought, p. 82.
- ^ William Thomas Parry and Edward A. Hacker (1991), Aristotelian Logic, SUNY Press, p. 207.
- ^ James H. Hyslop (1892), The Elements of Logic, C. Scribner's sons, p. 156.
- ^ Il soggetto si dice distribuito al predicato e, viceversa, il predicato si dice distribuito al soggetto, se tutti i membri della classe del termine sono inclusi in quella dell’altro. Ad esempio, nella frase “tutti gli uomini sono mortali” il soggetto è distribuito al predicato, mentre non è vero il contrario poiché i mortali non sono necessariamente umani”.
- ^ Gordon Hunnings (1988), The World and Language in Wittgenstein's Philosophy, SUNY Press, p. 42.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Ulteriori letture
- Aristotele. Organon.
- Copi, Irving. Introduction to Logic. MacMillan, 1953.
- Copi, Irving. Symbolic Logic. MacMillan, 1979, fifth edition.
- Stebbing, Susan. A Modern Introduction to Logic. Cromwell Company, 1931.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- Implicazione inversa, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) converse, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Converse, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Denis Howe, converse, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL