Omotetia
In matematica, in particolare in geometria, un'omotetia (composto dai termini greci homós, "simile" e títhemi, "pongo") è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae i segmenti, e quindi gli oggetti, a partire da un punto detto centro dell'omotetia. Le lunghezze variano in proporzione, mentre gli angoli restano invariati e si mantiene perciò la "forma" (nel senso intuitivo del termine) degli oggetti, come nelle similitudini, di cui è infatti un caso particolare.
L'uso di tale termine è relativamente nuovo, figurando la prima volta con Michel Chasles nel 1827.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/Omot.png)
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Omotetia.jpg/310px-Omotetia.jpg)
Un'omotetia di centro e di rapporto (numero reale diverso da zero) è una trasformazione dello spazio euclideo secondo cui un qualsiasi punto dello spazio viene spostato, sulla semiretta se positivo o sulla semiretta se negativo, in modo che la sua distanza da cambi secondo il fattore costante .
Nell'esempio grafico a fianco , quindi il punto viene trasformato in sulla semiretta (ovvero la semiretta che origina in e va verso ) tale che .
Questa trasformazione geometrica è anche chiamata con termini più familiari:
- dilatazione, se
- contrazione, se
- se si ottiene l'identità, cioè la trasformazione nella quale ogni punto corrisponde a sé stesso;
- se si ottiene la simmetria centrale di centro il punto o la rotazione di centro pari a un angolo piatto
L'omotetia è una particolare similitudine, ma non è vero il viceversa, infatti nelle omotetie il centro , un generico punto e il suo trasformato sono sempre allineati, mentre nelle similitudini è richiesto solo che si mantenga costante il rapporto tra le lunghezze.
Definizione tramite vettori
[modifica | modifica wikitesto]Mediante i vettori, l'omotetia di centro e di rapporto si definisce come la trasformazione geometrica che porta ogni punto nell'unico punto soluzione dell'equazione vettoriale:
Molto spesso si dice che l'omotetia sia diretta o inversa secondo che sia positivo o negativo, tuttavia si tratta sempre di una proporzionalità diretta tra lunghezze.
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]Una omotetia moltiplica tutte le distanze per , di conseguenza tutte le aree per (o ) e tutti i volumi per .
Se (cioè se non è un'identità), allora l'unico punto unito è il punto e le uniche rette unite sono quelli passanti per (si dice "unito" un ente geometrico che, a seguito di una trasformazione geometrica del piano o dello spazio, rimane sé stesso).
Algebra lineare
[modifica | modifica wikitesto]Un'omotetia è una trasformazione affine, definita in uno spazio euclideo di dimensione qualsiasi.
Se il centro dell'omotetia coincide con l'origine dello spazio, allora l'omotetia è una trasformazione lineare, la cui matrice associata rispetto ad una qualunque base è data dalla matrice identità moltiplicata per il fattore , ovvero dalla matrice diagonale avente tutti gli elementi della diagonale principale pari a .
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Similitudine (geometria)
- Isometria
- Rotazione (matematica)
- Traslazione (geometria)
- Riflessione (geometria)
- Auto similarità
Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]Wikizionario contiene il lemma di dizionario «omotetia»
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su omotetia
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- omotetia, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
- (EN) Eric W. Weisstein, Omotetia, su MathWorld, Wolfram Research.
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 37360 |
---|