이론물리학과 미분기하학에서 게이지 변환군(gauge變換群, 영어: group of gauge transformations)은 어떤 주다발의 자기 동형으로 구성된 위상군이다.[1] 그 원소를 게이지 변환(gauge變換, 영어: gauge transformation)이라고 한다. 양-밀스 이론이나 천-사이먼스 이론과 같은 게이지 이론은 이러한 군을 대칭으로 갖는다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
![{\displaystyle M}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- 리 군
![{\displaystyle G}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
-매끄러운 주다발 ![{\displaystyle P\twoheadrightarrow M}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469d858f4bdc90a55a9d07e7f49ae0526b6d134d)
그렇다면,
의 게이지 변환은
의 자기 동형 사상이다. 즉, 매끄러운 함수
![{\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(P,G)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344356884e5c9293ba83fd878ca44757eae00439)
가운데, 등변 함수 조건
![{\displaystyle \phi (p\cdot g)=g^{-1}\phi (p)g\qquad \forall (p,g)\in P\times G}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b06676f77298a236652c3b9294b8f932ca5a480)
을 만족시키는 것이다.[2]:539, (2.1) 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}P\times G&{\overset {(\cdot )}{\to }}&P\\{\scriptstyle \!\!\!\!\!\!(\phi ,\operatorname {id} )}\downarrow {\scriptstyle \color {White}(\phi ,\operatorname {id} )\!\!\!\!\!\!}&&{\color {White}\scriptstyle \!\!\!\!\!\!\phi }\downarrow {\scriptstyle \phi \!\!\!\!\!\!}\\G\times G&{\underset {\!\!\!\!\!\!\!\!\!(h,g)\mapsto g^{-1}hg\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{\to }}&G\end{matrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15491a1909513bcb7b574e4d406affb11f8ebaa3)
두 게이지 변환
는 다음과 같이 점별 곱셈으로 곱할 수 있다.
![{\displaystyle (\phi \chi )(p)=\phi (p)\chi (p)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/954dea23428c4b95601c695c5c9ce13fddb8c178)
그렇다면, 게이지 변환들의 집합은 위상군을 이룬다. 이를 게이지 변환군이라고 한다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
![{\displaystyle M}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- 리 군
![{\displaystyle G}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
-매끄러운 주다발 ![{\displaystyle P\twoheadrightarrow M}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469d858f4bdc90a55a9d07e7f49ae0526b6d134d)
그렇다면, 연관 다발
을 취할 수 있다. 여기서
의, 스스로 위의 왼쪽 군 작용은 켤레
이다.
이 올다발의 매끄러운 단면
![{\displaystyle \phi \in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (P))}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8f5b18ec06b52f4cb7161f517494c7aa8f488b)
을
의 게이지 변환이라고 한다.
이 정의는 함수로서의 정의와 동치이다.[2]:539, §2
게이지 변환군
에 대응하는 실수 리 대수는 딸림표현 연관 벡터 다발
![{\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {g}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e238d8e420c792c75f59a2c083e969b0e748d0)
의 매끄러운 단면
![{\displaystyle \Gamma ^{\infty }(\operatorname {ad} (G))}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a465bb59a9e70e54347acc1f7f6a64b87c822ce)
의 실수 벡터 공간이다. 이 경우,
의 리 괄호는
의 딸림표현 작용에 공변이므로,
![{\displaystyle [\operatorname {ad} (g)x,\operatorname {ad} (g)y]=\operatorname {ad} ([x,y])}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d550962fbb30b63a9b4c2f11dd1ac39f95e9120b)
이는
위에 점별로 잘 정의되며, 이는 실수 리 대수를 이룬다. 그 원소는 무한소 게이지 변환(영어: infinitesimal gauge transformation)으로 해석될 수 있다.
게이지 변환군
는 위상군이며, 그 연결 성분의 군
![{\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Aut} (P))={\frac {\operatorname {Aut} (P)}{\operatorname {Aut} _{0}(P)}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fb33f21ad0e503145eb645d6eb1f06e48c6595)
을 정의할 수 있다. 이를 큰 게이지 변환(영어: large gauge transformation)의 군이라고 한다. 반면, 항등원을 포함하는 연결 성분
의 원소를 작은 게이지 변환(영어: small gauge transformation)이라고 한다.
임의의
위의
의 유한 차원 실수 표현
이 주어졌을 때, 연관 벡터 다발
![{\displaystyle E=P\times _{G}V}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e387e6bf201f4593a139050c84bafb332f2cd3)
의 매끄러운 단면의 공간
를 생각할 수 있다. 게이지 변환군
은 그 위에 다음과 같은 표준적인 왼쪽 군 작용을 갖는다.
![{\displaystyle (\phi \cdot s)(x)=q(p,\phi (p)v)\qquad (s(x)=q(p,v),\;(p,v)\in P\times V)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b911f93e23dc7c8da7e7b39172442df82830d2af)
여기서
![{\displaystyle q\colon P\times V\twoheadrightarrow P\times _{G}V=E}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c3fa9d7bd266167aa7ad6f6dbf3513bfa17d6b)
는 연관 벡터 다발의 정의에 등장하는 전사 함수이다.
매끄러운 다양체
위의
-주다발
위의 주접속
이 주어졌다고 하자.
의 게이지 변환
는 주다발의 자기 동형
![{\displaystyle \phi _{\#}\colon P\to P}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ef547637cdb7a28ec5a2a2e8bc0eb4ee0cd3ca)
![{\displaystyle \phi _{\#}\colon p\mapsto p\cdot \phi (p)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28ab9d119c6fb0d4d1dc5fd49e0367d163b2f60)
를 정의하며, 따라서 주접속 위에도
![{\displaystyle \phi \cdot A=\phi _{\#}^{*}A}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9792c4a6546c5146788a2067fdc7faa296460e35)
와 같이 작용한다.
게이지 변환군은 주접속
의 곡률
위에 마찬가지로 다음과 같이 작용한다.
![{\displaystyle F\mapsto \phi _{\#}^{*}F}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d68c991c32c90f1485c205c83393069be6ff206)
반면, 예를 들어, 킬링 형식
및 준 리만 계량
에 대하여, 양-밀스 라그랑지언
는 게이지 불변이다.
매끄러운 다양체
위의 주다발
를 생각하자.
어떤 작용
가 게이지 변환
에 대하여 다음과 같은 꼴로 변환한다고 하자.
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}S\mapsto {\frac {1}{2\pi }}S+\sum _{i}\int _{M}F_{i}\wedge \phi ^{*}\alpha _{i}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067e18cdede6b74eccee2a46629775c4ddf533a2)
,
(
)
![{\displaystyle \mathrm {d} \alpha _{i}=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeacdfcc7a44ac47926d7f6911cc868a3188cbef)
![{\displaystyle F_{i}\in \Omega ^{n-d_{i}}(M)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74391054edc6a1c3daa843a1b4e628fa36e56dfd)
![{\displaystyle \mathrm {d} F_{i}=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f3ec4789ce78d9c9c3d27ab26324d1f6b7f386)
여기서
의 당김은 켤레 변환 불변성에 대하여
의 임의의 국소 자명화에 상관없이 잘 정의된다.
이론이 양자장론에 따라 잘 정의되려면 (즉,
가 게이지 불변이려면), 항상
![{\displaystyle \sum _{i}\int _{M}F_{i}\wedge g^{*}\alpha _{i}\in \mathbb {Z} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c60d9d787dc5aaecff246285c43801df4b773b44)
이어야 한다.
만약
가 작은 게이지 변환이라면,
가 완전 미분 형식이 된다. 즉,
라고 하면,
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}S\mapsto {\frac {1}{2\pi }}S+\sum _{i}\int _{M}\mathrm {F} _{i}\wedge \phi ^{*}\mathrm {d} \beta _{i}={\frac {1}{2\pi }}S+\sum _{i}(-)^{(n-d_{i})}\int _{M}\mathrm {d} (F_{i}\wedge \phi ^{*}\beta _{i})={\frac {1}{2\pi }}S}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6a08761667c4f25b4a7878e6e5b101567f4aa0)
가 되어, 이 작용은 작은 게이지 변환에 대하여 불변임을 알 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환에 대하여 불변이 아닐 수 있다. 즉, 만약
가 자명하지 않은 코호몰로지류를 갖는다면, 이는 이론에서
![{\displaystyle [M]\frown ([F_{i}]\smile \operatorname {H} ^{d_{i}}(M;\mathbb {R} ))\in \mathbb {Z} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f4a36ab44dbfcdaf61de4b43427b9fd6af6f85)
의 꼴의 제약을 유도한다. 이는 디랙 양자화의 한 경우이다. (여기서
는 실수 계수 기본류이다.)
특히, 만약
일 경우, 이는
![{\displaystyle F_{i}\in \mathbb {Z} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c546baff26f776d9b4932e23b1383aa14d30ade4)
를 유도한다. 이 경우, 이 값
를 레벨(영어: level)이라고 한다.
예를 들어, 아벨 또는 비아벨 천-사이먼스 이론이 이와 같은 경우에 해당한다.[3]
가 자명한 주다발이라고 하자 (즉, 대역적 단면이 주어졌다고 하자). 이 경우, 표준적으로
가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수
가 된다.
함수를 통한 정의:
만약
가 자명한 주다발이라면, 매끄러운 함수
에 대응하는 게이지 변환은
![{\displaystyle \phi (m,g)=g^{-1}\phi (m)g\qquad \forall (m,g)\in P=M\times G}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe185968480bc25d34d9058bdde1674c05d09e4a)
이다.
연관 다발을 통한 정의:
만약
가 자명한 주다발이라면,
이다. 구체적으로,
의 올을
![{\displaystyle G\times _{G}G={\frac {G\times G}{(gk,h)\sim (g,khk^{-1})}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2dae1462efad1facc2db7c1618828321a33758)
로 정의하면, 모든 동치류는
![{\displaystyle (g,h)\sim (1,ghg^{-1})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c743b6319363a6e84fc5f158ad085b7e220e0e0)
의 동치 관계 아래
의 꼴의 대표원을 갖는다.
만약
이 초구이며,
가 자명한 주다발이라면, 큰 게이지 변환의 군은 호모토피 군
과 집합으로서 같다. 그러나 호모토피 군으로서의 군 연산은 큰 게이지 변환의 군으로서의 군 연산과 일반적으로 다르다.
특히, 만약
이며,
가 콤팩트 단순 리 군일 경우,
(무한 순환군)이 된다.
만약
가 아벨 리 군이라고 하고, 이를 올로 갖는 매끄러운 주다발
를 생각하자. 이 경우,
위의 켤레 작용이 자명하므로, 표준적으로
![{\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=P\times _{G}G=M\times G}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494639e279622a7fe0f9d4583744072036f27e7c)
가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수
가 된다. 마찬가지로, 무한소 게이지 변환은 리 대수 값 미분 형식
가 된다.
이 경우, 주접속의 곡률은 사실
위의 리 대수 값 미분 형식
가 되며, 이는 게이지 불변이다.