군론 에서 군의 작용 (群의作用, 영어 : group action )은 어떤 군 으로부터, 어떤 집합의 대칭군 으로 가는 군 준동형 이다. 대략, 어떤 공간 위에 대칭군 의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.
모노이드
M
{\displaystyle M}
의, 집합
X
{\displaystyle X}
위의 왼쪽 작용 (영어 : left action of
M
{\displaystyle M}
on
X
{\displaystyle X}
)은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수
M
×
X
→
X
{\displaystyle M\times X\to X}
로 정의할 수 있으며, 또 특정한 모노이드 준동형 으로, 또는 함자 로도 생각할 수 있다. 모노이드
M
{\displaystyle M}
의 작용을 갖�� 집합을
M
{\displaystyle M}
-집합 (영어 :
M
{\displaystyle M}
-set )이라고 한다. 두
M
{\displaystyle M}
-집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 등변 함수 (等變函數, 영어 : equivariant function )라고 한다.
M
{\displaystyle M}
-집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 범주 가 존재하며, 이를
M
-Set
{\displaystyle M{\text{-Set}}}
또는
Set
M
{\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}
으로 쓴다.
모든 군 은 모노이드 를 이루며, 군의 작용 (영어 : group action )은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, 반군 의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군과 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드
M
{\displaystyle M}
의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 항등 함수 가 아니게 작용할 수 있다.)
모노이드
M
{\displaystyle M}
의, 집합
X
{\displaystyle X}
위의 왼쪽 작용 (영어 : left action of
M
{\displaystyle M}
on
X
{\displaystyle X}
)은 다음 조건들을 만족시키는 함수
⋅
:
M
×
X
→
X
{\displaystyle \cdot \colon M\times X\to X}
이다.
(모노이드 항등원은 항등 함수 ) 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
1
M
⋅
x
=
x
{\displaystyle 1_{M}\cdot x=x}
. 여기서
1
M
∈
M
{\displaystyle 1_{M}\in M}
은
M
{\displaystyle M}
의 항등원이다.
(모노이드 연산은 함수의 합성 ) 임의의
m
,
n
∈
M
{\displaystyle m,n\in M}
및
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
(
m
n
)
⋅
x
=
m
⋅
(
n
⋅
x
)
{\displaystyle (mn)\cdot x=m\cdot (n\cdot x)}
모노이드
M
{\displaystyle M}
의, 집합
X
{\displaystyle X}
위의 오른쪽 작용 (영어 : right action of
G
{\displaystyle G}
on
X
{\displaystyle X}
)은 다음 조건들을 만족시키는 함수
⋅
:
X
×
M
→
X
{\displaystyle \cdot \colon X\times M\to X}
이다.
(모노이드 항등원은 항등 함수 ) 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
x
⋅
1
M
=
x
{\displaystyle x\cdot 1_{M}=x}
. 여기서
1
M
∈
M
{\displaystyle 1_{M}\in M}
은
M
{\displaystyle M}
의 항등원이다.
(모노이드 연산은 함수의 합성 ) 임의의
m
,
n
∈
M
{\displaystyle m,n\in M}
및
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
x
⋅
(
m
n
)
=
(
x
⋅
m
)
⋅
n
{\displaystyle x\cdot (mn)=(x\cdot m)\cdot n}
모노이드
M
{\displaystyle M}
의 작용을 갖춘 두 집합
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
는 다음 조건을 만족시키는 함수 이다.
∀
x
∈
X
,
m
∈
M
:
m
⋅
f
(
x
)
=
f
(
m
⋅
x
)
{\displaystyle \forall x\in X,m\in M\colon m\cdot f(x)=f(m\cdot x)}
여기서 좌변은
Y
{\displaystyle Y}
위의 작용이고, 우변은
X
{\displaystyle X}
위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.
M
×
X
→
X
M
×
f
↓
↓
f
M
×
Y
→
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}M\times X&\to &X\\{\scriptstyle M\times f}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\M\times Y&\to &Y\end{matrix}}}
추상적으로, 모노이드
M
{\displaystyle M}
의, 집합
X
{\displaystyle X}
위의 왼쪽 작용 은
M
{\displaystyle M}
에서
X
{\displaystyle X}
위의 자기 함수 들의 모노이드
End
X
{\displaystyle \operatorname {End} X}
로 가는 모노이드 준동형
ϕ
:
M
→
End
X
{\displaystyle \phi \colon M\to \operatorname {End} X}
이며,
M
{\displaystyle M}
의
X
{\displaystyle X}
위의 오른쪽 작용 은 반대 모노이드
M
op
{\displaystyle M^{\operatorname {op} }}
에서
End
X
{\displaystyle \operatorname {End} X}
로 가는 모노이드 준동형
M
op
→
End
X
{\displaystyle M^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} X}
이다. 만약
G
{\displaystyle G}
가 군 일 경우, 왼쪽 작용은
X
{\displaystyle X}
의 대칭군 (=자기 동형군 )
Sym
X
{\displaystyle \operatorname {Sym} X}
으로 가는 군 준동형
G
→
Sym
X
{\displaystyle G\to \operatorname {Sym} X}
을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군 에서의 군 준동형
G
op
→
Sym
X
{\displaystyle G^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Sym} X}
을 이룬다.
모노이드
M
{\displaystyle M}
의 작용을 갖춘 두 집합
ϕ
X
:
M
→
End
X
{\displaystyle \phi _{X}\colon M\to \operatorname {End} X}
ϕ
Y
:
M
→
End
Y
{\displaystyle \phi _{Y}\colon M\to \operatorname {End} Y}
이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
이다.
M
→
ϕ
X
End
X
ϕ
Y
↓
↓
f
∘
End
Y
→
∘
f
hom
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xrightarrow {\phi _{X}}}&\operatorname {End} X\\{\scriptstyle \phi _{Y}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\circ \\\operatorname {End} Y&{\xrightarrow[{\circ f}]{}}&\hom(X,Y)\end{matrix}}}
범주론 적으로,
M
{\displaystyle M}
의 작용 은
M
{\displaystyle M}
을 하나의 대상을 갖는 작은 범주 로 간주하였을 때, 함자
F
:
M
→
Set
{\displaystyle F\colon M\to \operatorname {Set} }
와 동치이다. 이 경우,
M
{\displaystyle M}
이 작용하는 집합은 범주
M
{\displaystyle M}
의 유일한 대상
∙
M
{\displaystyle \bullet _{M}}
의
F
{\displaystyle F}
에 대한 상
F
(
∙
M
)
∈
Set
{\displaystyle F(\bullet _{M})\in \operatorname {Set} }
이며,
m
∈
M
{\displaystyle m\in M}
의 작용은
F
{\displaystyle F}
에 대한 상
F
(
m
)
:
F
(
∙
M
)
→
F
(
∙
M
)
{\displaystyle F(m)\colon F(\bullet _{M})\to F(\bullet _{M})}
이다.
두
M
{\displaystyle M}
-집합
F
:
M
→
Set
{\displaystyle F\colon M\to \operatorname {Set} }
G
:
M
→
Set
{\displaystyle G\colon M\to \operatorname {Set} }
사이의 등변 함수
F
⇒
G
{\displaystyle F\Rightarrow G}
는 두 함자 사이의 자연 변환 과 동치 이다. 구체적으로, 자연 변환
η
:
F
⇒
G
{\displaystyle \eta \colon F\Rightarrow G}
에 대응하는 등변 함수는
η
{\displaystyle \eta }
의 성분
η
∙
M
:
F
(
∙
M
)
→
G
(
∙
M
)
{\displaystyle \eta _{\bullet _{M}}\colon F(\bullet _{M})\to G(\bullet _{M})}
이다.
따라서,
M
{\displaystyle M}
-집합의 범주
Set
M
{\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}
은 사실 (작은 범주 로 간주한)
M
{\displaystyle M}
에서
Set
{\displaystyle \operatorname {Set} }
로 가는 함자 범주와 동치 이다.
군
G
{\displaystyle G}
가 집합
X
{\displaystyle X}
에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자.
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
의 궤도 (軌道, 영어 : orbit )
G
⋅
x
{\displaystyle G\cdot x}
는 다음과 같다.
G
⋅
x
=
{
g
⋅
x
:
g
∈
G
}
{\displaystyle G\cdot x=\{g\cdot x\colon g\in G\}}
궤도는
G
{\displaystyle G}
위의 동치 관계
x
∼
y
⟺
∃
g
∈
G
:
g
⋅
x
=
y
{\displaystyle x\sim y\iff \exists g\in G\colon g\cdot x=y}
의 동치류 와 같으며,
X
{\displaystyle X}
는 궤도들로 분할 된다.
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
의 안정자군 (安定子群, 영어 : stabilizer subgroup )
G
x
{\displaystyle G_{x}}
는 다음과 같다.
G
x
=
{
g
∈
G
:
g
⋅
x
=
x
}
{\displaystyle G_{x}=\{g\in G\colon g\cdot x=x\}}
즉, 안정자군
G
x
{\displaystyle G_{x}}
는
G
{\displaystyle G}
의 원소 중
x
{\displaystyle x}
를 고정점 으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.
모노이드
M
{\displaystyle M}
이 집합
X
{\displaystyle X}
위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 작은 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
를 정의할 수 있다.
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 대상은
X
{\displaystyle X}
의 원소이다.
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
에 대하여,
hom
C
(
x
,
y
)
=
{
m
∈
M
:
m
x
=
y
}
{\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(x,y)=\{m\in M\colon mx=y\}}
이다.
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
위의 항등 사상은
1
M
∈
hom
C
(
x
,
x
)
{\displaystyle 1_{M}\in \hom _{\mathcal {C}}(x,x)}
이다.
이를 작용 범주 (作用範疇, 영어 : action category , translation category )라고 한다.[1] :315, 3.3.1 만약
M
{\displaystyle M}
이 군 이라면,
X
{\displaystyle X}
위의 작용 범주는 준군 을 이룬다. 이를 작용 준군 (作用準群, 영어 : action groupoid , translation groupoid )이라고 한다.
작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.
군의 왼쪽 작용
⋅
:
G
×
X
→
X
{\displaystyle \cdot \colon G\times X\to X}
이 주어졌을 때,
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
에 대하여
g
⋅
:
X
→
X
{\displaystyle g\cdot \colon X\to X}
는 전단사 함수 이다.
(역원은 역함수 )
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
에 대하여
g
−
1
⋅
=
(
g
⋅
)
−
1
{\displaystyle g^{-1}\cdot =(g\cdot )^{-1}}
이다. 여기서
(
g
⋅
)
−
1
{\displaystyle (g\cdot )^{-1}}
는 전단사 함수의 역함수 이다.
임의의 모노이드
M
{\displaystyle M}
에 대하여, 왼쪽
M
{\displaystyle M}
-작용은 오른쪽
M
op
{\displaystyle M^{\operatorname {op} }}
-작용과 같다. 여기서
M
op
{\displaystyle M^{\operatorname {op} }}
은
M
{\displaystyle M}
의 반대 모노이드 이다. 특히, 가환 모노이드 는 스스로의 반대 모노이드 와 표준적으로 동형 이므로, 가환 모노이드 의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.
모든 군
G
{\displaystyle G}
는 그 반대군 과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형
−
1
:
G
→
G
op
{\displaystyle {}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname {op} }}
이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽
G
{\displaystyle G}
-작용을 왼쪽
G
{\displaystyle G}
-작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽
G
{\displaystyle G}
-작용
r
:
X
×
G
→
X
{\displaystyle r\colon X\times G\to X}
에 대하여,
ℓ
:
G
×
X
→
X
{\displaystyle \ell \colon G\times X\to X}
ℓ
(
g
,
x
)
=
r
(
x
,
g
−
1
)
{\displaystyle \ell (g,x)=r(x,g^{-1})}
로 정의한다면,
ℓ
{\displaystyle \ell }
은 왼쪽
G
{\displaystyle G}
-작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽
G
{\displaystyle G}
-작용
ℓ
:
G
×
X
→
X
{\displaystyle \ell \colon G\times X\to X}
가 주어졌을 때
r
:
X
×
G
→
X
{\displaystyle r\colon X\times G\to X}
r
(
x
,
g
)
=
ℓ
(
g
−
1
,
x
)
{\displaystyle r(x,g)=\ell (g^{-1},x)}
는 오른쪽
G
{\displaystyle G}
-작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치 이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)
안정자군
G
x
{\displaystyle G_{x}}
는 G의 부분군 이므로 그 왼쪽 잉여류 를 생각할 수 있다. 궤도-안정자군 정리 (軌道-安定子群定理, 영어 : orbit–stabilizer theorem )에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.
G
⋅
x
{\displaystyle G\cdot x}
의 원소
g
⋅
x
{\displaystyle g\cdot x}
를 왼쪽 잉여류
g
G
x
{\displaystyle gG_{x}}
로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의
g
,
h
∈
G
{\displaystyle g,h\in G}
에 대하여,
g
⋅
x
=
h
⋅
x
{\displaystyle g\cdot x=h\cdot x}
라면
g
G
x
=
h
G
x
{\displaystyle gG_{x}=hG_{x}}
이다.
이 함수는 전단사 함수 이다. 즉, 임의의
g
,
h
∈
G
{\displaystyle g,h\in G}
에 대하여,
g
G
x
=
h
G
x
{\displaystyle gG_{x}=hG_{x}}
라면
g
⋅
x
=
h
⋅
x
{\displaystyle g\cdot x=h\cdot x}
이다.
특히, 만약
G
{\displaystyle G}
가 유한군 이면, 라그랑주 정리 에 의해 다음이 성립한다.
|
G
⋅
x
|
=
[
G
:
G
x
]
=
|
G
|
/
|
G
x
|
{\displaystyle |G\cdot x|=[G:G_{x}]=|G|/|G_{x}|}
모노이드
M
{\displaystyle M}
에 대하여,
M
{\displaystyle M}
-집합은
M
{\displaystyle M}
의 각 원소
m
∈
M
{\displaystyle m\in M}
에 대하여 1항 연산
m
⋅
{\displaystyle m\cdot }
을 가지며, 대수적 관계
1
⋅
x
=
x
∀
x
∈
X
{\displaystyle 1\cdot x=x\qquad \forall x\in X}
m
⋅
(
n
⋅
x
)
=
(
m
n
)
⋅
x
∀
x
∈
X
{\displaystyle m\cdot (n\cdot x)=(mn)\cdot x\qquad \forall x\in X}
를 만족시키는 대수 구조 이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로,
M
{\displaystyle M}
-집합들은 대수 구조 다양체 를 이룬다.
집합
X
{\displaystyle X}
위의 자유
M
{\displaystyle M}
-집합은 곱집합
M
×
X
{\displaystyle M\times X}
이며, 그 위의 작용은
m
⋅
(
n
,
x
)
=
(
m
n
,
x
)
{\displaystyle m\cdot (n,x)=(mn,x)}
이다.
모노이드
M
{\displaystyle M}
에 대하여,
M
{\displaystyle M}
-집합의 범주
Set
M
{\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}
은 (작은 범주 에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) 그로텐디크 토포스 를 이룬다.[2] 특히, 이는 완비 범주 이자 쌍대 완비 범주 이며 데카르트 닫힌 범주 이다.
Set
M
{\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}
의 시작 대상 은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합 이다.
Set
M
{\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}
의 끝 대상 은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합 이다.
Set
M
{\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}
의
Set
M
{\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}}
의 부분 대상 분류자
R
M
{\displaystyle R_{M}}
은
M
{\displaystyle M}
위의 오른쪽 모노이드 아이디얼 들의 집합
R
M
=
{
I
⊆
M
:
I
M
⊆
I
}
{\displaystyle R_{M}=\{I\subseteq M\colon IM\subseteq I\}}
이다.[2] 이 위의
M
{\displaystyle M}
의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.
M
×
R
M
→
R
M
{\displaystyle M\times R_{M}\to R_{M}}
(
m
,
I
)
↦
m
I
{\displaystyle (m,I)\mapsto mI}
망각 함자
U
:
Set
M
→
Set
{\displaystyle U\colon \operatorname {Set} ^{M}\to \operatorname {Set} }
가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자
F
{\displaystyle F}
와 오른쪽 수반 함자
G
{\displaystyle G}
를 갖는다.[2]
F
⊣
U
⊣
G
{\displaystyle F\dashv U\dashv G}
왼쪽 수반 함자
F
{\displaystyle F}
는 자유 대수 함자이다. 즉, 집합
X
{\displaystyle X}
를
M
×
X
{\displaystyle M\times X}
로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자
G
{\displaystyle G}
는 집합
X
{\displaystyle X}
를 함수들의 집합
X
M
{\displaystyle X^{M}}
으로 대응시킨다.
M
{\displaystyle M}
의
X
M
{\displaystyle X^{M}}
위의 작용은 다음과 같다.
(
m
⋅
f
)
(
n
)
=
f
(
m
n
)
{\displaystyle (m\cdot f)(n)=f(mn)}
군
G
{\displaystyle G}
가 집합
X
{\displaystyle X}
위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.
군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n -추이적 작용 (n -推移的作用, 영어 : n -transitive action )이라 한다.
임의의 서로 다른 원소들
x
1
,
…
,
x
n
∈
X
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in X}
및 임의의 서로 다른 원소들
y
1
,
…
,
y
n
∈
X
{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}\in X}
에 대하여,
g
⋅
x
k
=
y
k
{\displaystyle g\cdot x_{k}=y_{k}}
(
∀
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \forall k\in \{1,\dots ,n\}}
)인
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
가 존재한다.
만약 여기서 이러한
g
{\displaystyle g}
가 유일하다면, 이를 n -정추이적 작용 (n -正推移的作用, 영어 : sharply n -transitive action )이라 한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n -정추이적 작용이라고 한다.
임의의 서로 다른 원소들
x
1
,
…
,
x
n
∈
X
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in X}
및 임의의 서로 다른 원소들
y
1
,
…
,
y
n
∈
X
{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}\in X}
에 대하여,
g
⋅
x
k
=
y
k
{\displaystyle g\cdot x_{k}=y_{k}}
(
∀
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \forall k\in \{1,\dots ,n\}}
)인 유일한
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
가 존재한다.
1-추이적 작용은 단순히 추이적 작용 (推移的作用, 영어 : transitive action )이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 정추이적 작용 (正推移的作用, 영어 : sharply transitive action ) 또는 정칙 작용 (正則作用, 영어 : regular action )이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치 이며, 아벨 군 의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.
군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 충실한 작용 (忠實-作用, 영어 : faithful action ) 또는 효과적 작용 (效果的作用, 영어 : effective action )이라고 한다.
임의의
g
,
h
∈
G
{\displaystyle g,h\in G}
에 대하여, 만약 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여
g
⋅
x
=
h
⋅
x
{\displaystyle g\cdot x=h\cdot x}
라면,
g
=
h
{\displaystyle g=h}
임의의
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
에 대하여, 만약 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여
g
⋅
x
=
x
{\displaystyle g\cdot x=x}
라면,
g
=
1
G
{\displaystyle g=1_{G}}
단사 군 준동형이다.
군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 자유 작용 (自由作用, 영어 : free action ) 또는 반정칙 작용 (半正則作用, 영어 : semiregular action )이라고 한다.
임의의
g
,
h
∈
G
{\displaystyle g,h\in G}
에 대하여, 만약
g
⋅
x
=
h
⋅
x
{\displaystyle g\cdot x=h\cdot x}
인
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
가 존재한다면,
g
=
h
{\displaystyle g=h}
임의의
g
,
h
∈
G
{\displaystyle g,h\in G}
에 대하여, 만약
g
⋅
x
=
x
{\displaystyle g\cdot x=x}
인
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
가 존재한다면,
g
=
1
G
{\displaystyle g=1_{G}}