범주론에서 완비 범주(完備範疇, 영어: complete category)는 집합 크기의 모든 극한들을 갖는 범주이다.
범주
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 완비 범주라고 한다.
- (작은 극한의 존재) 임의의 작은 범주
및 함자
에 대하여,
는 극한
를 갖는다.
- 다음 두 조건이 성립한다.
- (동등자의 존재) 임의의 두 사상
에 대하여, 동등자
가 존재한다.
- (작은 곱의 존재) 임의의
의 대상들의 집합
에 대하여, 곱
가 존재한다.
범주
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 쌍대 완비 범주(雙對完備範疇, 영어: cocomplete category)라고 한다.
- (작은 쌍대극한의 존재) 임의의 작은 범주
및 함자
에 대하여,
는 쌍대극한
를 갖는다.
- 다음 두 조건이 성립한다.
- (쌍대동등자의 존재) 임의의 두 사상
에 대하여, 쌍대동등자
가 존재한다.
- (작은 쌍대곱의 존재) 임의의
의 대상들의 집합
에 대하여, 쌍대곱
가 존재한다.
범주
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 유한 완비 범주라고 한다.
- (작은 극한의 존재) 유한 개의 대상 및 유한 개의 사상을 갖는 범주
및 함자
에 대하여,
는 극한
를 갖는다.
- 다음 두 조건이 성립한다.
- (동등자의 존재) 임의의 두 사상
에 대하여, 동등자
가 존재한다.
- (유한 곱의 존재) 임의의
의 대상들의 유한 집합
에 대하여, 곱
가 존재한다.
- 다음 두 조건이 성립한다.
- (당김의 존재) 임의의
에 대하여, 당김
가 존재한다.
- (끝 대상의 존재) 끝 대상
가 존재한다.
- 다음 세 조건이 성립한다.
- (동등자의 존재) 임의의 두 사상
에 대하여, 동등자
가 존재한다.
- (이항 곱의 존재) 임의의
의 두 대상
에 대하여, 곱
가 존재한다.
- (끝 대상의 존재) 끝 대상
가 존재한다.
작은 범주에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
또한, 작은 완비 범주는 항상 얇은 범주이다. 즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 0개 아니면 1개이다.[1]:78, Exercise D
모든 아벨 범주는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이다.
대수 구조 다양체의 범주는 모두 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 예를 들어, 다음 범주들은 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
- 집합과 함수의 범주
![{\displaystyle \operatorname {Set} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16771fd1a4471c4bc25c7f40de9cca25fffbb38)
- 군의 범주
![{\displaystyle \operatorname {Grp} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7344bc1aed9110f128f047b29baf697d3445f3e)
- 아벨 군의 범주
![{\displaystyle \operatorname {Ab} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052d0e5d6d7bb2068c46cf7ccaa7341e6d6e8829)
- 환의 범주
![{\displaystyle \operatorname {Ring} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f88a1904440f6fb2418fd86dd2bdff360c2392)
- 가환환의 범주
![{\displaystyle \operatorname {CRing} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba9a07ac6d4f5a300bcb2379428c2bcfe7e9156c)
- 환
에 대하여,
위의 왼쪽 가군들의 범주 ![{\displaystyle R{\text{-Mod}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8db948ee5af2aebf6e353597837e4c6d9219bf4)
작은 범주들의 범주
역시 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
부분 순서 집합
를 얇은 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.
는 완비 범주이다.
는 완비 격자이다.
군
를 하나의 대상을 갖는 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.
는 완비 범주이다.
는 자명군이다.
체의 범주는 유한 완비 범주가 아니며, 유한 쌍대 완비 범주도 아니다. 체의 범주에서는 일반적으로 곱이나 쌍대곱이 존재하지 않는다.
모든 순서수들의 얇은 범주는 쌍대 완비 범주이지만, 끝 대상이 없으므로 완비 범주가 아니다.
- ↑ Freyd, Peter J. (2003). “Abelian categories”. 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 (영어) 2003 (3): 1–164. MR 2050440. Zbl 1041.18001.