일반위상수학에서 긴 직선(긴直線, 영어: long line)은 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형이지만 파라콤팩트 공간이 아닌 위상 공간이다.
임의의 순서수
에 대하여, 곱공간
에 사전식 순서 및 순서 위상을 부여한 위상 공간을
라고 하자. 그렇다면,
를 집합
![{\displaystyle (L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\})\times \{+,-\}\sqcup \{0\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85e551027861c7daf2502601e516b89a668f1c4)
에 다음과 같은 전순서 및 순서 위상을 부여한 위상 공간으로 정의하자.
![{\displaystyle (a,-)\leq (a,+)\qquad \forall a\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a6a4fd55689dfe4a8761b94c4450e0b5dbd50f)
![{\displaystyle (a,-)\leq 0\qquad \forall a\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf05d214cd855f0fa3611350e86715ef48e9826a)
![{\displaystyle 0\leq (a,+)\qquad \forall a\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665eaa7129408a1ec879ed7456ba4fc2ad1e0114)
![{\displaystyle (a,-)\leq (b,-)\iff a\leq _{L_{\alpha }^{+}}b\qquad \forall a,b\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430fff336684494a4375a4c6b7568e31554b5431)
긴 직선은
이다. 여기서
은 최소 비가산 순서수이다.
에 대하여, 다음이 성립한다.
는 공집합이다.
- 만약
이라면,
이다.
이지만,
은 국소 유클리드 공간이다.
- 만약
이라면,
는 국소 유클리드 공간이 아니다. 구체적으로,
는 유클리드 공간과 위상동형인 근방을 갖지 않는다.
의 크기는
![{\displaystyle \max\{|\alpha |,2^{\aleph _{0}}\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49f08342586912d784a4ccd8efdb60ea5626e54)
이다. 특히, 긴 직선
은 실수선
와 같은 크기이다.
긴 직선
은 다음 성질들을 만족시킨다.