선형대수학에서 심플렉틱 벡터 공간(symplectic vector空間, 영어: symplectic vector space)은 비퇴화 교대 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간이다.
체
위의 벡터 공간
위의 쌍선형 형식
![{\displaystyle \Omega \colon V\otimes _{K}V\to K}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cdf96bb9be97c0912bc39dd9a5d9523b0011b40)
![{\displaystyle \Omega \colon (a\otimes b)\mapsto \Omega (a,b)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999bb6f2bed97f7d534a7a8964e9c3fa9c5b8427)
가 다음 조건을 만족시키면, 심플렉틱 쌍선형 형식(영어: symplectic bilinear form)이라고 한다.
![{\displaystyle \Omega (v,v)=0\qquad \forall v\in V}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824bb73b7c50f80ac8bfd8d33cb5fea771a90ace)
- (비퇴화성) 선형 변환
,
는 단사 함수이다. 즉, 만약
라면,
이다.
심플렉틱 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간
를 심플렉틱 벡터 공간이라고 한다.
다르부 기저[편집]
표수가 2가 아닌 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간
는 항상 짝수 차원이며,
가 다음과 같은 행렬로 표현되게 만드는 기저가 존재한다.
![{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98db8fde816dbfeed00aa06435ab97b3c53f0ffb)
이러한 기저를 다르부 기저(영어: Darboux basis)라고 한다.
라그랑주 부분 공간[편집]
임의의 체
위의 유한 차원 벡터 공간
이 주어졌을 때,
![{\displaystyle V\oplus V^{*}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522729f2f06824c08d31f32cf9b3b9f825e8989d)
위에 다음과 같은 심플렉틱 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \Omega (a\oplus \alpha ,b\oplus \beta )=\langle a,\beta \rangle -\langle b,\alpha \rangle \qquad (a,b\in V,\;\alpha ,\beta \in V^{*})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2b9925e2452e89d014d06e30b17a3f42eccdd4)
심플렉틱 벡터 공간의 동형
![{\displaystyle V\oplus V^{*}\to W}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a88ceed8c6d8de4260cd286994b5f9f53570800)
가 주어졌을 때,
를
의 라그랑주 부분 공간이라고 한다. 모든 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간은 라그랑주 부분 공간을 가지며, 이는 일반적으로 유일하지 않다.
표준 부피 형식[편집]
차원 심플렉틱 벡터 공간
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
![{\displaystyle \overbrace {\Omega \wedge \Omega \wedge \dotsb \wedge \Omega } ^{n}\in \bigvee ^{n}(V)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4beb76b8c0aea060c9c7e6d60c6966eec8e64386)
는
위의 부피 형식을 이룬다. 이를
의 표준 부피 형식(영어: standard volume form)이라고 한다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]