알렉산더 쌍대성(Alexander雙對性, 영어: Alexander duality)은 대수적 위상수학에 등장하는 쌍대성 중 하나로, 초구 속 부분 공간의 호몰로지와 그 여집합의 코호몰로지가 서로 동형이라는 것을 말한다.
알렉산더 쌍대성
초구의 비어있지 않은 부분 공간 이 국소적으로 축약 가능할 경우, 다음이 성립한다.
- .
여기서 는 축소 호몰로지 · 코호몰로지 군이다. 만약 축소 체흐 코호몰로지를 쓸 경우 국소 축약 가능 공간이라는 조건이 필요 없어진다.
푸앵카레 쌍대성을 이용한 증명[편집]
를 의 열린 덮개라고 하면 다음이 성립한다.
slant product를 이용한 증명[편집]
에 대해 다음 사상을 생각할 수 있다.
위 사상은 다음 코호몰로지류에 대응한다.
위 코호몰로지류와 slant product를 통해, 사상을 만들 수 있다.
이제, 만약 가 콤팩트 국소 축약 가능 공간일 경우, 이는 축소 호몰로지의 동형 사상
을 정의한다. 이 사상에 의해 알렉산더 쌍대성이 성립한다.
축약 가능 공간[편집]
가 축약 가능 공간)이라고 하자. 이 경우, 역시 축약 가능 공간이다. 축약 가능 공간의 축소 호몰로지와 축소 코호몰로지는 모두 0이므로, 이 경우 알렉산더 쌍대성이 자명하게 성립한다.
(반면, 축약 가능 공간은 0차 (코)호몰로지를 가지므로, 축소가 아닌 일반 (코)호몰로지의 경우 동형이 성립하지 않는 것을 알 수 있다.)
가 차원 초구라고 하자. 이 경우
이며, 반면
은 두 개의 점을 가진 이산 공간과 호모토피 동치이므로
이다. 이에 따라서 알렉산더 쌍대성이 성립하는 것을 알 수 있다.
연환수[편집]
마찬가지로, 이며 인 경우를 생각하자. 이 경우
이며, 이는 오직 1차에만 자명하지 않은 축소 (코)호몰로지를 갖는다. 이에 따라서 알렉산더 쌍대성이 성립하는 것을 알 수 있다. 이 경우 알렉산더 쌍대성 사상은 연환수에 의하여 유도된다.
1915년에 제임스 워델 알렉산더가 알렉산더 쌍대성의 최초의 형태를 증명하였다.[1] 알렉산더의 시대에는 (코)호몰로지가 아직 발견되지 않았으며, 알렉산더가 실제로 증명한 것은 법2의 베티 수가 일치한다는 것이었다.
- ↑ Alexander Ⅱ, James W. (1915). “A proof of the invariance of certain constants of analysis situs”. 《Trans. Amer. Math. Soc.》 (영어) 16: 148–154.