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열핵

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해석학에서 열핵(熱核, 영어: heat kernel)은 열 방정식그린 함수이다.[1][2][3] 해석학에서 함수를 매끄럽게 만들기 위해 쓰인다.

정의

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일반화 라플라스 연산자

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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

위의 라플라스형 연산자는 (임의의 국소 좌표계에서) 다음과 같은 꼴의, 위의 2차 미분 연산자이다.[1]:65, Definition 2.2

여기서 매끄러운 단면의 공간을 뜻한다. 마찬가지로, 연속 단면을 로 표기하자.

다시 말해, 라플라스형 연산자는 어떤 임의의 리만 계량 코쥘 접속 매끄러운 단면 에 대하여

의 꼴로 나타내어지는 미분 연산자이다.

열핵

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이제, 위의, 무게 밀도 다발이라고 하자. (이는 방향과 관계없이 정의된다.) 그렇다면, 위에 다음과 같은, 차원 벡터 다발을 생각하자.

콤팩트 공간일 경우, 열핵

은 다음 조건들을 만족시키는, 의 (연속) 단면이다.

  • 에 대하여 함수이다. 즉, 가 존재하며, 연속 함수 를 이룬다.
  • 에 대하여 함수이다. 즉, 가 연속적으로 존재한다.
  • 열 방정식이 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.
  • (초기 조건) 다음과 같은 경계 조건이 성립한다. 임의의 에 대하여,

여기서 극한은 위의 균등 노름에 대한 것이다.

만약 콤팩트 공간이 아니라면, 적절한 경계 조건을 주어야 한다.

경계다양체 위의 열핵

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만약 리만 계량이 주어진 콤팩트 매끄러운 경계다양체라고 하고, 가 그 위의 매끄러운 벡터 다발이라고 하자. 또한, 마찬가지로 위의 라플라스형 연산자가 주어졌다고 하자.

이 경우, 열핵을 정의하기 위해서는 경계 조건을 주어져야 한다. 구체적으로, 경계에서의 수직 단위 벡터를 이라고 하자. 그렇다면, 단면 위에 다음과 같은 꼴의 디리클레 경계 조건을 생각할 수 있다.

또는 다음과 같은 일반화 노이만 경계 조건을 생각할 수 있다.

여기서

이다.

이와 같은 경계 조건을 부여하면, 마찬가지로 열핵을 (유일하게) 정의할 수 있다.

성질

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존재 조건

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만약 콤팩트 리만 다양체라면, 그 위의 임의의 라플라스형 연산자는 열핵을 가지며, 이는 유일하다.[1]

적분

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콤팩트 리만 다양체 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 라플라스형 연산자를 생각하자.

여기서 위의 임의의 벡터장이며, 는 임의의 스칼라장이다.

이 경우, 열핵의 적분은 부분 적분을 통해 다음 성질을 만족시킨다.

즉,

로 놓으면 다음이 성립한다.

특히, 만약 이라고 하면, 에 의존하지 않으며, 이 경우 에서의 경계 조건에 의하여 상수 함수

가 된다.

반군 성질

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콤팩트 리만 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발 위의 라플라스형 연산자 의 열핵 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

즉, 이는 반군 준동형

을 정의한다. (여기서 는 양의 실수들의 덧셈 반군이다. 이는 항등원 0을 갖지 않으므로 모노이드가 아니다.) 이를 열핵의 반군 성질(半群性質, 영어: semigroup property)이라고 한다.

이를 사용하여 열핵의 다양한 성질들을 증명할 수 있다. 예를 들어, 가 자명한 선다발이라고 하고, 라플라스형 연산자가 상수항을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 시각 에서, 콤팩트 공간 위의 실수 값 연속 함수 는 최댓값

을 갖는다. 그렇다면, 초과의 임의의 시각 , 에서,

이다. 따라서, 함수

는 항상 감소 함수이다.

점근적 전개

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콤팩트 차원 리만 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발 위의 라플라스형 연산자 가 주어졌을 때, 그 열핵 는 다음과 같은 꼴로 전개된다.[1]:81–82, §2.5[4]:(1.13)

여기서

이다.

약간 다르게, 다음과 같은 전개를 사용할 수도 있다. 임의의 에 대하여,[4]:(2.21)

위 합에서는 오직 짝수 만이 등장한다.[4]:§4.1 만약 콤팩트 경계다양체인 경우, (적절한 경계 조건 아래) 홀수 역시 등장할 수 있다.

고윳값

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위의 라플라스형 연산자 가 주어졌다고 하자. 만약 이 콤팩트 다양체이며, 에르미트 작용소라고 하자. 그렇다면, 복소수 힐베르트 공간

에 확장시킬 수 있으며, 스펙트럼 정리에 의하여 그 실수 고윳값들이 존재한다. 또한, 만약 의 고윳값들이 추가로 모두 양이 아닌 실수라면, 이 고윳값들은 0을 제외하고 모두 음의 실수이다.

이에 대응하는, 복소수 힐베르트 공간 정규 직교 기저라고 하면, 열핵은 다음과 같은 점근적 급수로 주어진다.

그러나 이 급수가 수렴하는지 여부는 일반적으로 복잡하다.

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유클리드 공간

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유클리드 공간 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한 라플라스형 연산자

의 열핵은 다음과 같다.[4]:(1.12)

대칭 공간

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이 밖에도, 일부 리 군 또는 대칭 공간 위의 경우 열핵의 급수 표현이 알려져 있다.[5] 예를 들어, 위의 (표준적) 라플라스 연산자의 경우, 열핵은 다음과 같다.[6]:328, (1)

여기서

파울리 행렬이며, 르장드르 다항식이다.

멜러 핵

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실수선 위의 다음과 같은 라플라스형 연산자를 생각하자.

이는 무게 조화 진동자해밀토니언 연산자이다. 의 열핵은 다음과 같다.

이를 멜러 핵(Mehler核, 영어: Mehler kernel)이라고 한다.[1]:154, §4.2

역사

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멜러 핵은 구스타프 페르디난트 멜러(독일어: Gustav Ferdinand Mehler, 1835~1895)가 도입하였다.[7]:173–174

각주

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  1. Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag. 
  2. Grigor’yan, Alexander (2009). 《Heat kernel and analysis on manifolds》. American Mathematical Society/International Press Studies in Advanced Mathematics (영어) 47. American Mathematical Society, International Press. ISBN 978-0-8218-9393-7. MR 2569498. 
  3. Saloff-Coste, Laurent. 〈The heat kernel and its estimates〉 (PDF). Kotani, Motoko; Hino, Masanori; Kumagai, Takashi. 《Probabilistic Approach to Geometry》. Advanced Studies in Pure Mathematics (영어) 57. Mathematical Society of Japan, American Mathematical Society, World Scientific. 405–436쪽. doi:10.1142/e025. ISBN 978-4-931469-58-7. Zbl 1201.58025. 
  4. Vassilevich, D. V. (2003). “Heat kernel expansion: user’s manual”. 《Physics Reports》 (영어) 388: 279–360. arXiv:hep-th/0306138. Bibcode:2003PhR...388..279V. doi:10.1016/j.physrep.2003.09.002. Zbl 1042.81093. 
  5. Camporesi, Roberto (1990). “Harmonic analysis and propagators on homogeneous spaces” (PDF). 《Physics Reports》 (영어) 196 (1–2): 1–134. Bibcode:1990PhR...196....1C. doi:10.1016/0370-1573(90)90120-Q. 
  6. Fischer, Hans R.; Jungster, Jerry J.; Williams, Floyd L. (1985년 12월). “The heat kernel on the two-sphere”. 《Journal of Mathematical Analysis and Applications》 (영어) 112 (2): 328–334. doi:10.1016/0022-247X(85)90244-6. 
  7. Mehler, F. G. (1866). “Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung”. 《Journal für Reine und Angewandte Mathematik》 (독일어) (66): 161–176. ISSN 0075-4102. JFM 066.1720cj. 

외부 링크

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