수학에서 일반선형군(一般線型群, 영어: general linear group)은 주어진 벡터 공간의 가역 선형 변환들이 이루는 군이다.
체
에 대한 벡터 공간
의 일��선형군
은 가역 선형 변환
들의, 함수의 합성에 대한 군이다. 이는
-대수군을 이룬다.
만약
가 유한 차원
일 경우,
를
라고 쓴다. 이는
-가역행렬들의 군으로 여길 수 있다. 만약
가 실수체 또는 복소수체인 경우, 이는 실수 또는 복소 리 군이다.
실수 일반선형군
은
차원 실수 리 군이다. 그 리 대수
는
실수 행렬들의 리 대수이다.
다양체로서, 실수 일반선형군
은 콤팩트 공간 또는 연결 공간이 아니며, 두 개의 연결 성분을 갖는다. 이는 각각 행렬식이 양수인 성분과 음수인 성분이다. 단위원을 포함하는, 행렬식이 양수인 부분공간
은 정규 부분군을 이루며, 이에 대한 몫군은 물론
이다.
복소 일반선형군
은 복소
차원 (실수
차원) 리 군이다. 그 리 대수
는
복소 행렬들의 리 대수이다.
다양체로서, 복소 일반선형군
은 연결 공간이며, 콤팩트하지 않다. 그 기본군은
![{\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )\cong \mathbb {Z} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db9afbe6633c2a83bc0a151261b972fa7bd8a42)
이다.
유한체
의 경우, 간혹
대신
로 쓰기도 한다.
의 크기는 다음과 같다.
![{\displaystyle \left|\operatorname {GL} (n;\mathbb {F} _{q})\right|=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\ \ldots \ (q^{n}-q^{n-1})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051c80a97b24c1202abc1748bfb2d3052b0e25fb)