일반화 힘(generalized force)이란 라그랑주 역학에서 도입된 개념으로, 외부에서 입자 i에 작용한 힘을 일반화 좌표로 변환한 것을 의미한다.
n개의 입자 중, i번째 입자에 외부에서 작용한 힘을 Fi라 하면, 이 때, 일반화 좌표 {q1, q2, …, qσ}에 대한 일반화 힘 Qσ은 다음과 같이 정의된다.
![{\displaystyle Q_{\sigma }=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\partial \mathbf {r} _{i} \over \partial q_{\sigma }}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fb6293064a59a06bf1c22fe110c786bd63a8e8)
일반화 힘의 표현은 외부 힘에 대한 가상 일을 통해 얻는다. n개의 입자로 이루어진 계를 생각해보자. 이 때, 가상 일 δW는 외부 힘 Fi 와 가상 변위 δri의 스칼라곱으로 나타난다.[1]:265
![{\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8861e2a18fec11184acdf38c4d9c31f97131ee6b)
여기서 δri는 다음과 같이 일반화 좌표에 대한 가상 변위 δqσ를 써서 표현할 수 있다.
![{\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{\sigma }{\partial \mathbf {r} _{i} \over \partial q_{\sigma }}\delta q_{\sigma }}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308ee989f20de5dd71992120c02c6f94e7bc1e6c)
이를 첫 번째 식에 대입하면, 가상 일을 일반화 좌표에 대한 가상 변위로 표현할 수 있는데,
![{\displaystyle \delta W=\sum _{\sigma }\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\partial \mathbf {r} _{i} \over \partial q_{\sigma }}\right)\delta q_{\sigma }}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d45a30e75c4a270f7d056418244ab7ac0b5704)
여기서, 괄호안의 부분 Qσ
![{\displaystyle Q_{\sigma }=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot {\partial \mathbf {r} _{i} \over \partial q_{\sigma }}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da92886b22e82a02a3e67100dd0103d85ab9ac3)
를 일반화 힘이라 정의하고, 이에 대한 가상 일은
![{\displaystyle \delta W=\sum _{\sigma }Q_{\sigma }\delta q_{\sigma }\;}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/712947ba79a64c482396cc981da6a8e79b9640fa)
이 되어 식이 원래 형태에서 변하지 않음을 알 수 있다.
여기서, qσ에 거리를 넣으면 Qσ의 차원은 힘의 차원이 되고, qσ에 각을 넣으면 Qσ의 차원은 돌림힘의 차원이 됨을 알 수 있다.
- ↑ Torby, Bruce (1984). 〈Energy Methods〉. 《Advanced Dynamics for Engineers》. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.