파라콤팩트 공간

일반위상수학에서 파라콤팩트 공간(paracompact空間, 영어: paracompact space)은 단위 분할의 존재를 증명하기 위하여 필요한, 콤팩트 공간의 개념의 일반화이다. 수학에서 흔히 사용되는 대부분의 공간은 파라콤팩트 공간이며, 파라콤팩트성을 가정하면 단위 분할을 통해 해석학적 구조를 쉽게 정의할 수 있다.

정의

위상 공간 $X$ 위의 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$ 가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 열린 덮개 $\{V_{j}\}_{j\in J}$ 가 존재한다면, $\{U_{i}\}_{i\in I}$ 를 국소 유한 집합족(영어: locally finite family of sets)이라고 한다.^[1]^:68

임의의 $j\in J$ 에 대하여, $\{i\in I\colon U_{i}\cap V_{j}\neq \varnothing \}$ 는 유한 집합이다.

즉, 국소 유한 집합족은 모든 점에서 유한 개의 집합족 원소들과 겹치는 근방을 잡을 수 있는 집합족이다.

위상 공간 $X$ 위의 임의의 열린 덮개에 대하여 국소 유한 열린 덮개인 세분을 찾을 수 있다면, $X$ 를 파라콤팩트 공간이라고 한다.^[1]^:68

메타콤팩트 공간

파라콤팩트 공간의 정의를 변형시켜 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.

메조콤팩트 공간(영어: mesocompact space)
메타콤팩트 공간(영어: metacompact space)
직교 콤팩트 공간(直交-, 영어: orthocompact space)

위상 공간 $X$ 의 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$ 가 다음 조건을 만족시키면, 콤팩트 유한 집합족(compact有限-, 영어: compact-finite family of sets)이라고 한다.^[2]^:23

임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$ 에 대하여, $\{i\in I\colon K\cap U_{i}\neq \varnothing \}$ 는 유한 집합이다.

즉, 콤팩트 유한 집합족은 모든 콤팩트 집합이 유한 개의 집합족 원소와 만나는 집합족이다.

위상 공간 $X$ 의 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$ 가 다음 조건을 만족시키면, 점 유한 집합족(點有限-, 영어: point-finite family of sets)이라고 한다.

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $\{i\in I\colon x\in U_{i}\}$ 는 유한 집합이다.

즉, 점 유한 집합족은 모든 점이 유한 개의 집합족 원소에만 포함되는 집합족이다.

위상 공간 $X$ 의 열린집합들의 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$ 가 다음 조건을 만족시키면, 내부 보존 집합족(內部保存-, 영어: interior-preserving family of sets)이라고 한다.

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $\bigcap \{U_{i}\colon i\in I,\,x\in U_{i}\}$ 는 열린집합이다.

이 개념들로부터, 다음과 같은 꼴의 정의를 내릴 수 있다.

위상 공간

X

위의 임의의 열린 덮개가 조건 P를 만족시키는 열린 세분을 갖는다면,

X

를 ~ 공간이라고 한다.

이 정의들은 다음과 같다.

개념	세분의 조건
파라콤팩트 공간	국소 유한 열린 덮개
메조콤팩트 공간	콤팩트 유한 열린 덮개^[3]^:200
메타콤팩트 공간	점 유한 열린 덮개
직교 콤팩트 공간	내부 보존 열린 덮개

가산 파라콤팩트 공간

파라콤팩트·메조콤팩트·메타콤팩트·직교 콤팩트 공간의 정의에서, “임의의 열린 덮개”를 “가산 열린 덮개”로 약화시키면

가산 파라콤팩트 공간(영어: countably paracompact space)
가산 메조콤팩트 공간(영어: countably mesocompact space)
가산 메타콤팩트 공간(영어: countably metacompact space)
가산 직교 콤팩트 공간(영어: countably orthoparacompact space)

의 개념을 얻는다. 예를 들어, 가산 파라콤팩트 공간은 모든 가산 열린 덮개가 국소 유한 열린 덮개인 세분을 갖는 위상 공간이다.

성질

~콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱공간에 대하여 다음이 성립한다.

콤팩트 공간과 파라콤팩트 공간의 곱공간은 파라콤팩트 공간이다.^[4]^:260
콤팩트 공간과 메조콤팩트 공간의 곱공간은 메조콤팩트 공간이다.
콤팩트 공간과 메타콤팩트 공간의 곱공간은 메타콤팩트 공간이다.
콤팩트 공간과 가산 파라콤팩트 공간의 곱공간은 가산 파라콤팩트 공간이다.^[5]^{:159, 21A.3}

그러나 직교 콤팩트 공간의 경우 이러한 꼴의 정리가 성립하지 않는다. 이에 대한 부분적인 결과인 스콧 정리(영어: Scott’s theorem)에 따르면, 임의의 직교 콤팩트 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[6]

$X\times [0,1]$ 은 직교 콤팩트 공간이다.
$X$ 는 가산 메타콤팩트 공간이다.

또한, ~콤팩트 공간의 닫힌집합에 대하여 다음이 성립한다.

파라콤팩트 공간의 닫힌집합은 파라콤팩트 공간이다.^[4]^:254
메조콤팩트 공간의 닫힌집합은 메조콤팩트 공간이다.
메타콤팩트 공간의 닫힌집합은 메타콤팩트 공간이다.
직교 콤팩트 공간의 닫힌집합은 직교 콤팩트 공간이다.
가산 파라콤팩트 공간의 닫힌집합은 가산 파라콤팩트 공간이다.^[5]^{:159, 21A.2}

한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 유전적 성질이 아니다. 또한, 콤팩트 공간들을 모으면 티호노프 정리에 의해 그 곱공간 역시 콤팩트 공간이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.^[4]^:253

콤팩트성과의 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

콤팩트 공간	→	파라콤팩트 공간	→	메조콤팩트 공간	→	메타콤팩트 공간	→	직교 콤팩트 공간
↓		↓		↓		↓		↓
가산 콤팩트 공간	→	가산 파라콤팩트 공간	→	가산 메조콤팩트 공간	→	가산 메타콤팩트 공간	→	가산 직교 콤팩트 공간

이 밖에도, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

파라콤팩트 희박 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
메타콤팩트 가산 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
파라콤팩트 정칙 공간은 준파라콤팩트 공간이다.
모든 열린 덮개가 국소 유한 세분을 갖는 정칙 공간은 파라콤팩트 공간이다.
(모리타 정리 영어: Morita’s theorem) 정칙 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다.^[4]^:257^[7] 특히, 모든 국소 콤팩트 하우스도르프 제2 가산 공간은 파라콤팩트 공간이다. 반대로, 가산 강하향 반사슬 조건을 만족시키는 파라콤팩트 공간은 린델뢰프 공간이다. 특히, 분해 가능 파라콤팩트 공간은 린델뢰프 공간이다.
국소 콤팩트 연결 위상군은 파라콤팩트 공간이다.^[4]^:261
완전 정규 공간은 가산 파라콤팩트 공간이다.^[5]^{:159, 21A.1}
순서 위상을 갖춘 전순서 집합의 임의의 부분 집합은 직교 콤팩트 공간이자 가산 파라콤팩트 공간이다.^[8]^:17
순서 위상을 갖춘 전순서 집합이 메타콤팩트 공간이라면, 파라콤팩트 공간이다.^[9]^{:199, Theorem 1}

파라콤팩트 하우스도르프 공간

파라콤팩트 공간에 하우스도르프 공간의 조건을 추가하면, 여러 유용한 성질들이 성립한다. (이 때문에, 일부 문헌에서는 모든 파라콤팩트 공간이 하우스도르프 공간이 되게 정의한다.) 이 가운데 가장 중요한 것인 디외도네 정리(영어: Dieudonne’s theorem)에 따르면, 모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다.^[4]^:253 모리타 정리와 디외도네 정리로부터, 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여 다음 조건들이 서로 동치임을 알 수 있다.

정칙 공간이다.
정규 공간이다.
파라콤팩트 공간이다.

하우스도르프 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

파라콤팩트 공간이다.
임의의 열린 덮개에 대하여, 이에 종속되는 단위 분할이 존재한다.
모든 열린 덮개는 열린 성형 세분을 갖는다.^[5]^{:151, Corollary 20.15}
모든 열린 덮개는 열린 무게 중심 세분을 갖는다.^[5]^{:149, Theorem 20.14}

따라서, 파라콤팩트성은 미분기하학에서 핵심적인 단위 분할의 개념과 밀접하게 연관되어 있다.

또한, 스미르노프 거리화 정리에 따르면, 임의의 위상 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[4]^:261

파라콤팩트 하우스도르프 국소 거리화 가능 공간이다.
거리화 가능 공간이다.

따라서, 파라콤팩트 공간의 개념은 거리화 가능성과 밀접하게 연관되어 있다. 특히, 모든 거리 공간은 파라콤팩트 공간이다.

이 밖에도, 파라콤팩트 하우스도르프 공간에 대하여 다음이 성립한다.

완전 사상(영어: perfect map) $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $Y$ 가 파라콤팩트 공간일 때 $X$ 도 파라콤팩트 공간이다.^[4]^{:260, Exercise 8.(a)} 닫힌 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $X$ 가 파라콤팩트 하우스도르프 공간일 때 $f(X)$ 역시 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.^[10]^{:823, Corollary 1}^[5]^{:148, Theorem 20.12.(b)}^[4]^{:260, Exercise 8.(b)}
완전 사상(영어: perfect map) $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $Y$ 가 메타콤팩트 하우스도르프 공간일 때 $X$ 도 메타콤팩트 하우스도르프 공간이다.^[11]^{:329, Exercise 5.3.H} 닫힌 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 만약 $X$ 가 메타콤팩트 하우스도르프 공간이며, $Y$ 가 하우스도르프 공간일 때, $f(X)$ 역시 메타콤팩트 하우스도르프 공간이다.^[11]^{:325, Theorem 5.3.7}
정규 하우스도르프 공간의 유한 개 파라콤팩트 닫힌집합들의 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.^[4]^:260
정규 하우스도르프 공간 $X$ 속의 가산 개 파라콤팩트 닫힌집합들의 내부가 이루는 집합족이 $X$ 의 덮개를 이룰 때, 그 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.^[4]^:260

예

긴 직선은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이지만, 파라콤팩트 공간이 아니다.

조르겐프라이 직선은 파라콤팩트 공간이지만, 두 조르겐프라이 직선의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 아니다.

역사

1940년에 존 윌더 튜키(영어: John Wilder Tukey)는 "완전 정규 공간"(영어: fully normal space)이라는 개념을 정의하였다.^[12]^[13]^:165 1944년에 프랑스의 수학자 장 디외도네는 파라콤팩트 공간의 개념을 정의하였다.^[13]^:165^[14] 1948년에 아서 해럴드 스톤(영어: Arthur Harold Stone)은 완전 정규 공간의 개념과 파라콤팩트 공간의 개념이 (하우스도르프 조건 아래) 서로 동치임을 증명하였다.^[13]^:165^[15]

모리타 정리는 모리타 기이치가 1948년에 증명하였다.^[7]^[13]^:165

참고 문헌

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외부 링크

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