순서론에서 순서 위상(順序位相, 영어: order topology)은 전순서 집합 위의, 열린구간으로부터 생성되는 위상이다.
원순서 집합
이 주어졌다고 하고, 이로부터 유도되는 동치 관계를
![{\displaystyle x\sim y\iff x\lesssim y\lesssim x}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f00e96abf2c7b544c31020010c5ec9a33df4a6)
로 표기하고, 이에 대한 동치류를
![{\displaystyle [x]_{\sim }=\{y\in X\colon x\sim y\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1584158d3dbf2a7a2c0b00d013e56f3e17b9a34)
로 표기하자.
위의 열린 반직선(영어: open ray)을 다음과 같이 표기하자.
![{\displaystyle \mathop {\uparrow } a\setminus [a]_{\sim }=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a=\{b\in X\colon a\lesssim b\not \lesssim a\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e0493ec08e3e8637d3f9a138de573f462c4529)
![{\displaystyle \mathop {\downarrow } a\setminus [a]_{\sim }=\mathop {\downarrow } a\setminus \mathop {\uparrow } a=\{b\in X\colon b\lesssim a\not \lesssim b\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab5c44b3351fa05fa731bd63dffd88584b403a8)
여기서
는 상폐포이며,
는 하폐포이다.
위의, 다음과 같은 집합족을 부분 기저로 삼은 위상을 순서 위상이라고 한다.
![{\displaystyle \{\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a\}_{a\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b\}_{b\in X}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d3ca83e3fa77beb7f88a37bd6c372ec42f8dbde)
즉,
의 기저는 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle (\mathop {\uparrow } a_{1}\setminus \mathop {\downarrow } a_{1})\cap \cdots \cap (\mathop {\uparrow } a_{m}\setminus \mathop {\downarrow } a_{m})\cap (\mathop {\downarrow } b_{1}\setminus \mathop {\uparrow } b_{1})\cap \cdots \cap (\mathop {\downarrow } b_{n}\setminus \mathop {\uparrow } b_{n})\qquad (m,n\in \mathbb {N} ,\;a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n}\in X)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad62af990cd93a5e5e5fc86000c4699f858b8f0b)
(여기서, 0개의 부분 집합들의 교집합은
전체이다.)
만약
가 격자라면,
의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.
![{\displaystyle \{(\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a)\cap (\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b)\}_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a\}_{a\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b\}_{b\in X}\cup \{X\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647558037bf2b58e698de3cd2eee99a547c1b8de)
다음과 같이 구간 표기법
![{\displaystyle (a,\infty )=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3977fff244775cd8caa726981106b1a31786b0ac)
![{\displaystyle (-\infty ,b)=\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53d6f77cc67fcfc1ad6c212fc9e0cf3a77520de)
![{\displaystyle (a,b)=(a,\infty )\cap (-\infty ,b)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ac04274e8fa6ce1f49bde1aac174e4e97e8d11)
![{\displaystyle (-\infty ,\infty )=X}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d506ef89d04b1a1b10df4a5570be99b682a7f70c)
![{\displaystyle (\infty ,b)=(a,-\infty )=(\infty ,-\infty )=\varnothing }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9078b7b92f59d477c4badbf0bb7d735f31915d)
을 적용하면, 이는 다음과 같다.
![{\displaystyle \{(a,b)\}_{a,b\in X\sqcup \{\pm \infty \}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfdbb38dc798a74020b3e207fd19838eefbf05b)
만약
가 유계 격자라면,
의 순서 위상의 한 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.
![{\displaystyle \{(a,b)\}_{a,b\in X}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aac96675afeaa00465082476cd90619f87873b4)
위의 하위상(영어: lower topology) 또는 좌위상(영어: left topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.
![{\displaystyle \{X\setminus \mathop {\uparrow } b\}_{a\in X}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de980b8d9d7c1cd7bd58b26a1afdcca9923ee74)
만약
가 전순서 집합이라면, 이 부분 기저의 원소는 열린 반직선
![{\displaystyle X\setminus \mathop {\uparrow } b=\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b=(-\infty ,b)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7cb4223d82bcbabd67b516cb818224c92267678)
들이다.
마찬가지로,
위의 상위상(영어: upper topology) 또는 우위상(영어: right topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.
![{\displaystyle \{X\setminus \mathop {\downarrow } a\}_{a\in X}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aab321b0e145963f1d6fc7a801e24c8a3e19b8e)
만약
가 전순서 집합이라면,
![{\displaystyle X\setminus \mathop {\downarrow } a=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a=(a,\infty )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f312355bab35dbdd54ffab9b9eff407481fb19c)
이다.
위의 하극한 위상(영어: lower limit topology) 또는 하 조르겐프라이 위상(영어: lower Sorgenfrey topology)은 다음 부분 기저로 생성된다.
![{\displaystyle \{\mathop {\uparrow } a\cap (\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b)\}_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\uparrow } a\}_{a\in X}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9cd46a9c59fd26b5771e24009823920369769c)
이를 구간 표기법으로 쓰면 다음과 같다.
![{\displaystyle \{[a,b)\}_{a\in X,b\in X\sqcup \{\infty \}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c0b6ce26a61c3760a922cfb8653dd6b90a02ae)
만약
가 격자이거나,
의 반대 순서 집합이 나무라면, 위 부분 기저는
의 하극한 위상의 기저를 이룬다. 만약
가 격자이며, 최대 원소를 가지지 않는다면, 다음 집합족 역시
의 하극한 위상의 기저를 이룬다.
![{\displaystyle \{[a,b)\}_{a,b\in X}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36ddd5c1ab5ac0d1b16f19d3ab98b78b67c7e18)
마찬가지로,
위의 상극한 위상(영어: upper limit topology) 또는 상 조르겐프라이 위상(영어: upper Sorgenfrey topology)은 다음 부분 기저를 갖는다.
![{\displaystyle \{(\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a)\cap \mathop {\downarrow } b\}_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\}_{b\in X}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9286811faf5fb5d3b091bbeb2f390e300c13e1d0)
즉,
![{\displaystyle \{(a,b]\}_{a\in X\sqcup \{-\infty \},b\in X}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ebcd480b1e00624f03c24e8cc38dea6835c906)
만약
가 격자이거나 나무라면, 이는 상극한 위상의 기저를 이룬다. 만약
가 최소 원소를 갖지 않는 격자라면, 상극한 위상은 다음과 같은 기저를 갖는다.
![{\displaystyle \{(a,b]\}_{a,b\in X}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faca1b758c83b5b17e2b06d4650a4d01f936d4ce)
순서 위상을 준 전순서 집합은 항상 완비 정규 하우스도르프 공간이며,[1]:67, 39.6 완비 가산 파라콤팩트 공간이며, 완비 직교 콤팩트 공간이다.[2]:17
유한 전순서 집합 위의 순서 위상은 이산 위상이다.
전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:68, 39.8
전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:67, 39.7
전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[3]:199, Theorem 1
의 멱집합 위의 순서 위상을 생각하자. 이 경우, 열린집합은 다음과 같이 7개이다.
![{\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c8a2b37419cc10f741b933c0c4250c0d03bffe)
![{\displaystyle \left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026236c414a74f79cab8278a4d7d2986554bf050)
![{\displaystyle \left\{\{a\},\{b\},\varnothing \right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a377b8b19e755543fff4bdd65a32522f34a12ead)
![{\displaystyle \left\{\{a\},\{b\}\right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c324ba0ea61cfb0a50c9804be3df8a7ece43b56c)
![{\displaystyle \left\{\{a,b\}\right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffebab3d4c92a75cf2f27445ce008a75a40eee2)
![{\displaystyle \{\varnothing \}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d88961ba4645aaf8771d403b9b5ec7a0989125c)
![{\displaystyle \varnothing }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00595c5e33692e724937fdcc8870496acce1ac74)
의 멱집합 위의 상순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.
![{\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c8a2b37419cc10f741b933c0c4250c0d03bffe)
![{\displaystyle \left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026236c414a74f79cab8278a4d7d2986554bf050)
![{\displaystyle \left\{\{a,b\}\right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffebab3d4c92a75cf2f27445ce008a75a40eee2)
![{\displaystyle \varnothing }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00595c5e33692e724937fdcc8870496acce1ac74)
의 멱집합 위의 하순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.
![{\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c8a2b37419cc10f741b933c0c4250c0d03bffe)
![{\displaystyle \left\{\varnothing ,\{a\},\{b\}\right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4b3d5add24f1fa761f1bbd337d4696872dffa2)
![{\displaystyle \left\{\varnothing \right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706d940825594a9185551cdbebbb6a0adfe4942e)
![{\displaystyle \varnothing }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00595c5e33692e724937fdcc8870496acce1ac74)
집합
위의 동치 관계는 (자명한) 원순서를 이룬다. 이 경우, 이에 대한 순서 위상 · 상위상 · 하위상은 모두 비이산 위상이다.
실수체
, 유리수체
, 정수환
자연수 집합
위의 표준적 위상은 순서 위상이다. (
와
의 경우 이는 이산 위상이다.)
초실수체
에도 순서 위상을 줄 수 있다. 이 경우
는 완전 분리 공간이 된다.
실수체
위에 하극한 위상을 부여하여 만든 위상 공간을 조르겐프라이 직선(영어: Sorgenfrey line)이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 다음 성질들을 만족시킨다.
두 조르겐프라이 직선의 곱공간은 조르겐프라이 평면(영어: Sorgenfrey plane)이라고 한다. 이는 정규 공간이 아니다. 따라서 이는 파라콤팩트 공간이 아니며, 린델뢰프 공간이 아니다.
순서수
는 정렬 집합이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우,
의 극한점은
보다 작은 극한 순서수이다.
순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수
은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니며, 완전 정규 공간이 아니다.
은 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이며, 완전 정규 공간이 아니다.
은
의 스톤-체흐 콤팩트화이자 알렉산드로프 콤팩트화이다.
전순서 집합
의 부분 집합
위에서, 다음 두 가지 위상을 생각할 수 있다.
위에 순서 위상을 주었을 때,
위의 부분 공간 위상
위의 순서 위상
전자는 후자보다 더 섬세한 위상이지만, 전자와 후자는 일반적으로 일치하지 않는다. 예를 들어, 실수의 순서체
의 부분 집합
![{\displaystyle (0,1)\cup [2,3)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35da6d85f1a5d89e1dafb2550c533cf2e720e2f2)
에서,
![{\displaystyle [2,3)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d6c8e5aa6c63049029cc4e04171e33d9d6bdfa)
는 전자의 위상에 대하여 열린집합이지만, 후자의 위상에 대한 열린집합이 아니다.
만약
가 순서 볼록 집합이라면, 이 두 위상은 서로 일치한다.