Il-liġi tan-numri kbar, imsejħa wkoll it-teorema ta' Bernoulli (għaliex l-ewwel formulazzjoni taha Jacob Bernoulli), tħares lejn l-imġiba tal-medja ta' sekwenza ta'
varjabbli każwali [1] indipendenti u distribwiti identikament (bħal
qisien tal-istess kobor,
tefgħat tal-istess munita eċċ.) meta
tersaq lejn l-infinit.
Każ partikulari tal-applikazzjoni tal-liġi tan-numri kbar hu t-tbassir probabbilistiku tal-proporzjon ta' suċċessi minn
realizzazzjonijiet indipendenti ta' ġrajja
: meta
tersaq lejn l-infinit, il-proporzjon ta' suċċessi jikkonverġi għall-probabbiltà ta'
(ara l-eżempju).
Il-liġi qawwija tan-numri kbar
Għal suċċessjoni ta' varjabbli każwali
indipendenti u distribwiti identikament b'medja
, il-medja kampjunarja hi
![{\displaystyle {\bar {X}}_{n}={{X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}} \over {n}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef47c196fef1c20bb5f104480876993be4fc906)
Il-liġi (qawwija) tan-numri kbar tgħid li
![{\displaystyle \operatorname {P} \left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\bar {X}}_{n}=\mu \right)=1,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9edae10de6c3122d719782f801a8e88f578e7d)
jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi kważi ċertament għall-medja komuni tal-
.
Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar
Il-liġi (dgħajfa) tan-numri kbar tgħid li jekk
tkun suċċessjoni ta' varjabbli każwali li għandhom l-istess medja
, l-istess varjanza finita u indipendenti, imbagħad
għal kull
:
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {P} \left(\left|{\bar {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon \right)=1,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6498b301329da5a29a565e4add79dfa3fccddb23)
jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi fil-probabbiltà għall-medja komuni tal-
.
Konsegwenzi fl-istatistika
Il-liġi tan-numri kbar tiggarantixxi li l-medja kampjunarja tagħtina stima konsistenti tal-medja ta' popolazzjoni; biżżejjed ngħidu li mħabba l-liġi tan-numri kbar nistgħu ikkolna fiduċja li l-medja li nikkalkulaw minn numru kbir biżżejjed ta' kampjuni hi qrib biżżejjed tal-medja vera.
Eżempju
Nissoponu li għandna ġrajja (bħall-fatt li t-tfigħ ta' damma jagħtina s-sitta) b'probabbiltà li ma nafuhiex
(ma nafuhiex għax id-damma tista' tkun imbabsa, jew sempliċement difettuża: ma nistgħux inkunu nafu minn qabel).
Jekk nitfgħu id-damma
darba wara xulxin niksbu stima tal-probabbiltà li nġibu s-sitta b'dik id-damma,
, li hi mogħtija minn
![{\displaystyle {\bar {X}}_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8cb3360f41e8a39bef7ad603bfc8cd9b154e77)
fejn kull
fis-somma tirrappreżenta tefgħa u tiswa wieħed jekk it-tefgħa tagħtina s-sitta u żero jekk jiġi numru ieħor. Il-liġi tan-numri kbar tafferma sempliċement li, iżjed ma nużaw provi biex nikkalkulaw l-istima, iżjed din tkun qrib, probabbilment, għall-probabbiltà vera tal-ġrajja,
.
Jekk l-istima
li nikkalkulaw tkun qrib ħafna ta' wieħed f'sitta, li hi l-probabbiltà teorika li nġibu s-sitta għall-damma perfetta, nistgħu inkun ċerti mhux ħa��in li d-damma m'hijiex imxaqilba lejn is-sitta (biex inkunu żguri li d-damma ma xxaqlibx lejn l-ebda numru irridu nirrepetu l-provi għall-ħames numri l-oħra). Xi tfisser żguri mhux ħażin jiddipendi minn kemm irridu nkunu preċiżi fil-provi tagħna: b'għaxar tefgħat ikollna stima raffa, b'mija jkollna waħda iżjed preċiża, b'elf iżjed u nibqgħu sejjrin hekk: il-valur ta'
li lesti li naċċettaw bħala biżżejjed jiddependi mill-grad ta' każwalità li naħsbu li hu neċessarju għad-damma li qegħdin nużaw.
B'iżjed rigur
Ħalli
tkun suċċessjoni ta' spazji ta' probabbiltà. Inħarsu lejn l-ispazju prodott
u fih suċċessjoni Bernoulljana ta' ġrajjiet (stokastikament indipendenti u b'probabbiltà kostanti
),
. Għal kull element
niddefinixxu l-frekwenza ta' suċċess f'
provi,
, fejn
turi n-numru ta' suċċessi miksuba f'
provi.
Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar
B'din in-notazzjoni il-liġi nistgħu niktbuha:
,
.
Prova:
- Jekk niffissaw
u nużaw id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv [2]
![{\displaystyle \operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-\operatorname {E} (\phi _{n})|>\varepsilon \}\leq {\frac {\operatorname {var} (\phi _{n})}{\varepsilon ^{2}}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ff7a6aa11ae2e00b5940c6c5cd0c7b778541fd)
- Jekk
għandha distribuzzjoni binomjali, jkollna
u ![{\displaystyle \operatorname {var} (N_{n})=np(1-p),}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3baefe35f8390a3e581e949843c19f54f68f6ac)
- mil-liema
u
.
- Meta nissostitwixxu niksbu:
![{\displaystyle \operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}\leq {\frac {p(p-1)}{n\varepsilon ^{2}}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b8858ab04fe4a90115c43ab77ae79caed43c5a)
- u la
,
,
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}\leq 0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216acc1e167e6164f6e09f55917adb94e0161a32)
- Imma
, u għalhekk ipprovajna l-liġi dgħajfa.
Nota: Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar ma tiżgurax li, nagħżlu kif nagħżlu
, kważi ċertament jekk nibdew minn ċertu
il-valur ta'
ħa jibqa inqas jew daqs
, jiġifieri li s-sett
ħa jkun
-traskurabbli.
Infatti, jekk nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu iżjed espliċita, insibu li:
imma m'hemm xejn li jiżgura li
ma tiddiverġiex meta
.
Il-liġi qawwija tan-numri kbar
Minn naħa l-oħra l-liġi qawwija tan-numri kbar: :
timplika li
,
![{\displaystyle \operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists \ n_{\varepsilon }:\forall \ n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}=0.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90958bd927a319fa008ea504d8599da84c9bfbad)
u din l-asserzjoni tal-aħħar timplika l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.
Prova taż-żewġ implikazzjonijiet:
1.
- Billi nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu espiliċita u ngħaddu għall-kumplement, nistgħu nifformolaw il-liġi qawwija b'dal-mod:
![{\displaystyle \operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists \ \varepsilon >0:\forall \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,\exists \ n>n_{\varepsilon }:|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}=0.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef47ee448bdfbe48ab1195057e64851194c6876)
- Meta nittrasformaw il-kwantifikatur eżistenzjali f'unjoni, din issir:
![{\displaystyle \operatorname {P} (\bigcup _{\varepsilon >0}\{\omega \in \Omega :\forall \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,\exists \ n>n_{\varepsilon }:|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})=0.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f08648e7dc6c4dc7addb4c7dbfb49c1b934df5)
- Issa jekk
, bil-monotonija ta'
għandna
![{\displaystyle 0\leq \operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} :\forall \ n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e32ab582973add4334e592ce6b37ff9de6d402)
![{\displaystyle \leq \operatorname {P} (\bigcup _{\varepsilon >0}\{\omega \in \Omega :\forall \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,:\exists \ n>n_{\varepsilon }:|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})=0,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ade0eff13bd722e448fc8c97c5a3726433dba9)
- u mela
![{\displaystyle \operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} :\forall \ n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}=0.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f15a87ebd06ae061ff321f92891eaa95b5b31e4)
2.
- Minn naħa l-oħra jekk nassumu din tal-aħħar u nittrasformaw ukoll il-kwantifikaturi f'operazzjoniet tas-settijiet, ikollna:
![{\displaystyle 0=\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} :\forall \ n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375d8838aa668ecf6964d0ad4dab3d3e832eedc4)
![{\displaystyle =\operatorname {P} (\bigcap _{m\in \mathbb {N} }\bigcup _{n>m}\{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ac08951eedbb6aa3188ba437bf841641e85ea7)
- Imma, billi hemm intersezzjoni ta' suċċessjoni ta' settijiet li ma jikbrux, bil-monotonija ta'
, nistgħu niktbu:
![{\displaystyle \lim _{m\to \infty }\operatorname {P} (\bigcup _{n>m}\{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})=0.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01527a69adfc36f7120770d0ed357399d8ab10f5)
- Imbagħad bil-monotonija ta'
niksbu għal kull
.
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})\leq \lim _{m\to \infty }\operatorname {P} (\bigcup _{n>m}\{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2667de4f54368e249fb9e4068e4fad3e5cbc962e)
- li hi l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.
Prova tal-liġi qawwija:
- Digà rajna li l-asserzjoni hi ekwivalenti għal:
![{\displaystyle \operatorname {P} (\bigcup _{\varepsilon >0}\{\omega \in \Omega :\forall \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,\exists \ n>n_{\varepsilon }:|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7578460d2ef96c927aedcf42c02b5e76f75196a9)
- Din hi wkoll ekwivalenti għal:
![{\displaystyle \operatorname {P} (\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{0}}\{\omega \in \Omega :\limsup _{n\to \infty }|\phi _{n}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbcb97abf17679e958c0e04ad0ae3011d0d666d8)
- Bis-subadditività
![{\displaystyle \operatorname {P} (\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{0}}\{\omega \in \Omega :\limsup _{n\to \infty }|\phi _{n}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1352774cf9bad353f0ad10f86cc0e6f9b91e89c)
![{\displaystyle \leq \sum _{k\in \mathbb {N} _{0}}\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega :\limsup _{n\to \infty }|\phi _{n}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\}).}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94927cc48d1c19b5af535d8ab3797176edae17a)
- Mela, billi
mhux negattiva, jekk nuru li
![{\displaystyle \operatorname {P} (\{\omega \in \Omega :\limsup _{n\to \infty }|\phi _{n}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681ff89defe7be78be7b9487d3efad8fd395232e)
- inkunu pprovajna l-liġi qawwija. L-ewwel ħa nipprovaw din għas-sottosuċċessjoni
, jiġifieri
.
- Biex nagħmlu dan, bil-lemma ta' Borel-Cantelli, biżżejjed li nivverifikaw li l-espressjoni li ġejja tikkonverġi
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n^{2}}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ccf38d9c240fc3492a9523b7c27af384183444)
- Bid-diżugwaljanza ta' Čebyšëv insibu li
![{\displaystyle \operatorname {P} (\{\omega \in \Omega :|\phi _{n^{2}}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})\leq {\textrm {var}}(\phi _{n^{2}})k^{2}=k^{2}{\frac {p(1-p)}{n^{2}}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a86e0b8f15da0c1878396819ac4931eaf817d3)
- minn fejn:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega :|\phi _{n^{2}}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})\leq p(1-p)k^{2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705c18016fc9c18d2f52b817b312a589aa029974)
- Imma nafu li din is-serje tikkonverġi u għalhekk għandna li
,
![{\displaystyle \forall \ k\in \mathbb {N} _{0},\operatorname {P} (\limsup _{n\to \infty }\{\omega \in \Omega :|\phi _{n^{2}}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})=0.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4849456473799938415db97e41b1d8809bda4857)
- Issa ninotaw li kull numru naturali n qiegħed bejn żewġ kwadrati konsekuttivi, jiġifieri,
hekk li
![{\displaystyle q^{2}\leq n<(q+1)^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724060ad0ce68bf864974856cc73894ae95f8827)
- minn fejn inġibu
![{\displaystyle {\frac {N_{n}}{(q+1)^{2}}}\leq \phi _{n}\leq {\frac {N_{n}}{q^{2}}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9acddd298334b64e6fca24b167c4643b939029)
- Issa ninotaw li
hi l-ikbar differenza possibbli bejn
u
, u għalhekk:
![{\displaystyle N_{q^{2}}\leq N_{n}\leq N_{q^{2}}+(n-q^{2})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760f47115c7ef06536c9a82b609bb99363850e64)
- u mela:
![{\displaystyle {\frac {N_{q^{2}}}{(q+1)^{2}}}\leq {\frac {N_{n}}{(q+1)^{2}}}\leq \phi _{n}\leq {\frac {N_{n}}{q^{2}}}\leq {\frac {N_{q^{2}}+(n-q^{2})}{q^{2}}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0656e904c46e071f90e73b0e3c2653959a5fd616)
- Issa jekk nużaw
, ikollna:
![{\displaystyle {\frac {N_{q^{2}}}{q^{2}}}{\frac {q^{2}}{(q+1)^{2}}}\leq \phi _{n}\leq {\frac {N_{q^{2}}}{q^{2}}}+{\frac {(q+1)^{2}-q^{2}}{q^{2}}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552f8ad922ecda09ab67cfb11a8d4d9dc36b468e)
- Meta ngħaddu għall-limitu (
) u napplikaw ir-riżultat miksub għal
, niksbu li, kważi ċertament:
![{\displaystyle p=p\lim _{q\to \infty }{\frac {q^{2}}{(q+1)^{2}}}\leq \lim _{n\to \infty }\phi _{n}\leq p+\lim _{q\to \infty }{\frac {q^{2}+2q+1-q^{2}}{q^{2}}}=p}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4680fa7027e2f7bd58947ece7789d58abf0662e6)
- li ttemm il-prova.
Noti
- ^ Nistgħu ngħidulom ukoll varjabbli aleatorji jew varjabbli stokastiċi
- ^ Billi hemm ħafna verżjonijiet tat-transliterazzjoni mir-Russu ta' dan l-isem (Чебышёв): Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff jew Tschebyscheff, qegħdin nużaw it-transliterazzjoni xjentifika (International Scholarly System).