Id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv [1]
jew teorema ta' Čebyšëv hi diżugwaljanza użata l-iżjed fit-teorija tal-probabbiltà.
Id-diżugwaljanza kienet ippubblikata għall-ewwel darba fl-1853 minn Irenée-Jules Bienaymé u riskoperta indipendentement minn Pafnutij Čebyšëv xi ftit snin wara (għalhekk jgħidulha wkoll id-diżugwaljanza ta' Bienaymé-Čebyšëv ).
Id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv tgħid li jekk il-varjabbli każwali (v.k.)
għandha medja (aritmetika)
u varjanza
u
hu numru reali pożittiv, imbagħad il-probabbiltà li
tieħu valur bejn
u
hi ikbar minn
:
![{\displaystyle \operatorname {P} (\mu -\lambda \sigma \leq X\leq \mu +\lambda \sigma )\geq \ 1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1528fab213942084723b9e14e1c4a8da890ca6be)
F'termini oħra din id-diżugwaljanza tiżgura li, indipendentement mid-distribuzzjoni tal-v.k., l-iżjed li tista' tkun il-probabbiltà li din
tieħu valuri 'l bogħod mill-medja iżjed minn
darbiet id-devjazzjoni standard, hi
:
![{\displaystyle \operatorname {P} \left(|X-\mu |\geq \lambda \sigma \right)\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0493809cd9caac7515e01279807edeb6db47dc)
Pereżempju jekk nieħdu
naraw li mill-inqas nofs il-valuri huma fl-intervall
.
Ninnotaw li fil-każ
biss ikollna informazzjoni utli.
Tipikament, id-diżugwaljanza tagħtina limiti wiesa'. Imma in ġenerali (jiġifieri għal v.k. b'distribuzzjoni arbitrarja) ma nistgħux intejbuha. Pereżempju, għal kull
, dan l-eżempju (fejn
) jilħaq il-limiti eżattament.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (X=-1)&=1/(2\lambda ^{2}),\\\operatorname {P} (X=0)&=1-1/\lambda ^{2},\\\operatorname {P} (X=1)&=1/(2\lambda ^{2}).\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3c1e3e4f478ad06c1bafec9adf29d3e9d47076)
Għal din id-distribużżjoni,
![{\displaystyle \operatorname {P} \left(\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma \right)=1/\lambda ^{2}.\,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/418f8c1da40ed5a872bbdcd1f1dd6180b608028b)
Għandna ugwaljanza għal kull distribuzzjoni li hi trasformata linjari ta' din u diżugwaljanza għal kull waħda li mhijiex.
Fl-ambitu tal-istatistika deskrittiva id-diżugwaljanza tgħid li
mill-inqas
fil-mija tal-valuri
huma bejn
u
.
Minna nistgħu niddeduċu li indipendentement minn kif il-valuri huma distribwiti
- mill-inqas 75% tal-valuri huma bejn
u ![{\displaystyle \ \mu +2\sigma ,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5c86acf93ff0efba4661fdb6a4455e2e087ff24)
- mill-inqas 88% tal-valuri huma bejn
u ![{\displaystyle \ \mu +3\sigma ,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e60320bcc62b0db2c37c8ef3f5be786630a3e2)
- mill-inqas 93% tal-valuri huma bejn
u ![{\displaystyle \ \mu +4\sigma .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9efa776cfae98e3d7d6329ce2eae9e35a73c02)
- Prova
- Għal kull ġrajja
, ħalli
tkun il-v.k. indikatriċi ta'
, jiġifieri
tiswa 1 jekk
tiġri u 0 jekk ma' tiġriex. Imbagħad
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (|X-\mu |\geq k\sigma )&=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})\\&\leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}.\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a217e6f9fd0d812e37a33dcba8051664bedac5d)
Din il-prova turi għaliex il-limiti jistgħu ikunu wisgħin: in-numbru 1 hu sostitwit b'
meta dan hu ikbar minn 1. Imma f'xi każi hu ħafna ikbar minn 1.
- ^ Billi hemm ħafna verżjonijiet tat-transliterazzjoni mir-Russu ta' dan l-isem (Чебышёв): Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff jew Tschebyscheff, qegħdin nużaw it-transliterazzjoni xjentifika (International Scholarly System).