Naar inhoud springen

Quaternionengroep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de groepentheorie is de quaternionengroep een eindige groep, die niet commutatief is en waarvan de orde 8 is. De quaternionengroep wordt vaak met aangeduid en heeft de volgende acht elementen:

De quaternionengroep wordt met deze acht elementen als multiplicatieve groep geschreven, waarin 1 het neutrale element is, en voor alle in . De andere vermenigvuldigingsregels zijn uit de volgende relaties af te leiden:

De cayley-tabel of groepentabel voor is de volgende:

1 −1 i −i j −j k −k
1 1 −1 i −i j −j k −k
−1 −1 1 −i i −j j −k k
i i −i −1 1 k −k −j j
−i −i i 1 −1 −k k j −j
j j −j −k k −1 1 i −i
−j −j j k −k 1 −1 −i i
k k −k j −j −i i −1 1
−k −k k −j j i −i 1 −1

Merk op dat de quaternionengroep niet commutatief is. Bijvoorbeeld . is een Hamiltoniaanse groep is: iedere ondergroep van is er een normaaldeler van, maar de groep is niet commutatief. Iedere Hamiltoniaanse groep bevat een kopie van .

Cyclegraaf van
 2 = −1, 3 = −i en 4 = 1, maar ook
−i 2 = −1, −i 3 = i en −i 4 = 1
  • De quaternionengroep wordt hier dus als een multiplicatieve groep beschreven. Het is net zoals het mogelijk is de complexe getallen te definiëren door aan het lichaam van de reële getallen de imaginaire eenheid toe te voegen, mogelijk een nieuw lichaam te definiëren door aan de drie elementen en van de quaternionenengroep toe te voegen. Dit lichaam wordt met aangegeven. De dimensie van over is vier en de getallen in worden quaternionen genoemd.