Raakprobleem van Apollonius
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/Apolloniuscircle.png/260px-Apolloniuscircle.png)
Het raakprobleem van Apollonius, vernoemd naar Apollonius van Perga, bestaat eruit de cirkels te construeren die drie gegeven cirkels raken. In het algemene geval, waarin de cirkels elkaar niet snijden of raken, zijn er acht oplossingen. Dat zijn de mogelijkheden dat de oplossingscirkel geen (1 geval), één (3 gevallen), twee (3 gevallen) of drie (1 geval) van de cirkels omsluit.
Reductie van het probleem
[bewerken | brontekst bewerken]Het raakprobleem is te reduceren met de volgende observatie.
- Als een cirkel met middelpunt A en straal , en een cirkel met middelpunt B en straal elkaar raken, raakt de cirkel met middelpunt A en straal aan de cirkel met middelpunt B en straal , waarin , naargelang de cirkels elkaar inwendig of uitwendig raken.
Het probleem kan nu worden gereduceerd door van de drie gegeven cirkels de stralen gelijkelijk te vergroten/verkleinen (met zo nodig de absolute waarde). Zo kan men bijvoorbeeld doorgaan totdat twee cirkels elkaar raken. Door inversie kunnen de rakende cirkels worden afgebeeld op evenwijdige lijnen en ontstaat een eenvoudiger versie van het probleem.
Algemene oplossing van het probleem
[bewerken | brontekst bewerken]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Raakprobleem%28constr%29.jpg/350px-Raakprobleem%28constr%29.jpg)
- Van de drie gegeven cirkels , en met middelpunten , en wordt eerst het machtpunt geconstrueerd.
Elk tweetal cirkels heeft twee gelijkvormigheidscentra (namelijk een uitwendig en inwendig gelijkvormigheidspunt). Totaal zijn er dus zes van deze punten, die per drie collineair zijn en wel op vier gelijkvormigheidsassen. Voor elk van deze lijnen, telkens met de naam , worden de volgende constructiestappen uitgevoerd. In de hiernaast staande figuur is slechts een van deze lijnen weergegeven. De punten , en daarop zijn de uitwendige gelijkvormigheidspunten van de cirkels.[1]
- De loodlijn uit op de gelijkvormigheidas is .
- Het snijpunt van de loodlijn uit met is .
- De inverse van met als inversiecirkel is .
- De snijpunten van de lijn met zijn en .
- Het snijpunt van met de lijn is het middelpunt van de cirkel die door gaat. Die cirkel is een deel van de oplossing.
- Het snijpunt van met de lijn is het middelpunt van de cirkel die door gaat. Ook deze cirkel is een deel van de oplossing.
Met twee oplossingen per lijn zijn er dan in totaal acht oplossingen.
Vereenvoudigde gevallen
[bewerken | brontekst bewerken]Vaak bekijkt men eenvoudiger gevallen van het raakprobleem van Apollonius, door voor een cirkel een ontaarde cirkel te nemen: een punt of een lijn. Men kan de volgende gevallen onderscheiden:
De tien gevallen van het raakprobleem van Apollonius Nummer geval gegeven algemeen
aantal oplossingenVoorbeeld
(gegeven elementen zwart; oplossing roze)opmerkingen 1 CCC drie cirkels (het klassieke probleem) 8 2 CCR twee cirkels en een rechte 8 3 CCP twee cirkels en een punt 4 Van de 4 oplossingscirkels omsluit één geen van beide cirkels (zie figuur), één alleen de eerste, één alleen de tweede en één allebei de cirkels. 4 CRR een cirkel en twee rechten 8 5 CRP een cirkel, een rechte en een punt 4 6 CPP een cirkel en twee punten 2 De ene oplossingscirkel ligt buiten de gegeven cirkel (zie figuur), de andere omsluit hem. 7 RRR drie rechten 4 De ingeschreven en de 3 aangeschreven cirkels van de driehoek gevormd door de 3 rechten. 8 RRP twee rechten en een punt 2 De verbindingslijn van het gegeven punt en het snijpunt van de twee rechten snijdt in het ene geval de oplossingscirkels (zie figuur) en ligt in het andere geval erbuiten. 9 RPP een rechte en twee punten 2 Als de rechte die door de beide punten gaat, evenwijdig is met de gegeven rechte, dan is er maar 1 oplossing. 10 PPP drie punten 1 De oplossingscirkel is in het algemeen de omgeschreven cirkel van de driehoek gevormd door de punten. Als de 3 punten op één lijn liggen, is die lijn de (ontaarde) oplossing.
Zie ook
[bewerken | brontekst bewerken]Noten
[bewerken | brontekst bewerken]- ↑ Zie voor een theoretische beschouwing: D. Klingens, Raakprobleem, algemene oplossing, via diens website.