Czas własny
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Proper_and_coordinate_time.png/220px-Proper_and_coordinate_time.png)
Czas własny – czas wskazywany przez zegar poruszający się wraz z ciałem. Czas własny pomnożony przez prędkość światła jest równy długości linii świata ciała pomiędzy zdarzeniem włączenia zegara a jakimś zdarzeniem późniejszym. Linia świata jest krzywą, jaką kreśli w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni poruszające się ciało. Ponieważ długość krzywej mierzona między dowolnymi punktami w czasoprzestrzeni jest niezmiennikiem przekształceń Lorentza (dokładniej: jest wielkością geometryczną czasoprzestrzeni generowanej przez grupę przekształceń Lorentza), to i czas własny jest niezmiennikiem.
(Dokładniej: grupa transformacji Lorentza generuje geometrię 4-wymiarową – wg ujęcia geometrii przez program erlangeński Kleina).
Pojęcie czasu własnego wprowadza szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności.
Związek między czasem własnym a czasem
[edytuj | edytuj kod]Jeżeli cząstka porusza się ruchem dowolnie zmiennym, to upływ czasu własnego będzie różnił się od upływu czasu jaki zostanie zmierzony zegarami w układzie spoczynkowym, oddzielającym dwa zdarzenia na linii świata cząstki (patrz rysunek).
Znajdziemy związek między tymi czasami.
Opis ruchu w układzie spoczynkowym
[edytuj | edytuj kod]Niech cząstka porusza się w czasoprzestrzeni po trajektorii, którą w układzie nieruchomym opisuje wektor styczny
Dwu punktom krzywej
oraz
związanym z upływem czasu odpowiada różniczkowe przemieszczenie się cząstki w czasoprzestrzeni (zwane interwałem czasoprzestrzennym), takie że
Opis ruchu w układzie poruszającym się
[edytuj | edytuj kod]W szczególnej teorii względności postuluje się, że interwał jest niezmiennikiem, tj. jest wielkością geometryczną, a więc niezależną od tego w jakim układzie współrzędnych się ją wyraża. Dlatego w układzie poruszającym się interwał ten jest taki sam; wyraża go wzór
przy czym – upływ czasu w układzie poruszającym się, oraz
gdyż cząstka spoczywa w swoim układzie. Stąd dostaniemy
Ostatni wzór oznacza, że:
- Różniczkowy upływ czasu własnego danego ciała mnożony przez prędkość światła jest równy długości różniczkowej linii świata tego ciała, kreślonej w czasoprzestrzeni.
Tym samym różniczka
jest również niezmiennikiem relatywistycznym podobnie jak interwał
Związek między różniczkami czasu a
[edytuj | edytuj kod]Podstawiając do wzoru wyrażenie na interwał wyrażony przez współrzędne w układzie spoczywającym
otrzymamy
Wyciągając przed nawias otrzymamy:
czyli
Ponieważ prędkość ciała jest zawsze mniejsza niż to z powyższego wzoru wynika, iż:
- Różniczkowy upływ czasu własnego mierzony zegarem poruszającym się z ciałem podczas infinitezymalnego przemieszczenia się ciała w czasoprzestrzeni jest zawsze mniejszy niż różniczkowy upływ czasu mierzony w układzie spoczywającym, rejestrującym to przemieszczenie się ciała.
Związek między czasem a
[edytuj | edytuj kod]Całkowity czas własny, jaki upłynął pomiędzy zdarzeniami i obliczy się jako całkę
gdzie – wskazania zegarów spoczywających, gdy zaszły zdarzenia i
Ostatecznie mamy wyrażenie na związek między upływem czasu w układzie poruszającym się:
gdzie:
- – czynnik Lorentza zależny od chwilowej prędkości układu poruszającego się.
Ponieważ jest zawsze mniejsze lub równe jedności, to:
- Czas własny, upływający między dwoma zdarzeniami na linii świata danego ciała, jest zawsze mniejszy niż czas upływający między tymi dwoma zdarzeniami, zmierzony w układzie spoczywającym.
Gdy prędkość ciała poruszającego się jest stała, to i otrzymamy prosty wzór na dylatację czasu w przypadku ruchu jednostajnego:
Czas własny w ogólnej teorii względności
[edytuj | edytuj kod]Czas własny w ogólnej teorii względności definiuje się następująco: niech dana będzie rozmaitość pseudoriemannowska w której zdefiniowano lokalny układ współrzędnych krzywoliniowych wyposażona w tensor metryczny Cząstka porusza się po krzywej danej równanie parametrycznym Zależność czasu własnego między włączeniem zegara własnego cząstki, a dowolnym zdarzeniami późniejszym wzdłuż linii świata cząstki określa interwał
Wyrażenie to jest niezmiennicze ze względu na zmianę układu współrzędnych. W płaskiej czasoprzestrzeni wyrażenie to redukuje się do wzoru podanego wyżej.
W układzie cząstki mamy 4-wektory położeń cząstki w chwilach oraz odpowiednio oraz
Stąd otrzymamy
Wyrażenie to uogólnia wcześniej podany wzór na związek między czasem własnym a różniczką współrzędnej czasowej w układzie poruszającym się.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- czasoprzestrzeń Minkowskiego
- czterowektor
- interwał czasoprzestrzenny
- rozmaitość pseudoriemannowska
- rozmaitość riemannowska
- wektor styczny
- zdarzenie czasoprzestrzenne
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola, Warszawa: PWN, 2009.