Dyskusja:Równanie diofantyczne

Czy równania postaci: ${\displaystyle 2^{x}+1=y^{2}\,}$ i ${\displaystyle x^{y}=y^{x}\,}$ faktycznie zaliczają się do klasy równań nazywanych zwyczajowo diofantycznymi? Wedle mojej wiedzy równania diofantyczne są postaci: ${\displaystyle P=0}$ gdzie ${\displaystyle P}$ - jest wielomianem, tj. w szczególności w wykładnikach występują stałe, a nie zmienne. W powyższych równaniach w wykładnikach są zmienne - to jest ogólniejsza klasa równań, które nazywa się inaczej. Por. artykuł na angielskiej wiki, prace M.Davisa, H. Putnama, J. Robinson i Y. Matiyasevicha na temat nierozstrzygalności X problemu Hilberta. W anglojęzycznej literaturze wyraźnie rozróżnia się te dwa rodzaje równań - m.in. z tego względu, udowodnienie nierozstrzygalności zajęło kilka dekad.

Równanie ax+by=cz ma zawsze rozwiązanie x=c, y=x, z=(a+b)

'rozwiązanie szuka się w zbiorze liczb naturalnych lub zbiorze liczb całkowitych'. Czy nie wystarczy zostawić tylko liczby całkowite ? Przecież naturalne w całości zawierają się w całkowitych. --Michał Garbowski 14:23, 16 lip 2007 (CEST)[odpowiedz]

Nie, ponieważ rozwiązań niektórych równań diofantycznych szuka się tylko w zbiorze liczb naturalnych. Nivertius (dyskusja) 22:52, 23 lis 2008 (CET)[odpowiedz]

${\displaystyle {\tfrac {3^{a}\cdot k-1}{2^{a}\cdot k-1}}=2^{x}}$

Ma rozwiązanie dla a=0, k≠1, x=0