Przestrzeń Schwartza
Przestrzeń Schwartza – w analizie harmonicznej jest to przestrzeń funkcyjna wszystkich funkcji o szybko malejących pochodnych. Tak określona przestrzeń ma ważną własność – transformata Fouriera jest automorfizmem na tej przestrzeni. Umożliwia to zdefiniowanie transformaty Fouriera dla elementów w przestrzeni do niej sprzężonej czyli dla dystrybucji temperowanych. Funkcje z przestrzeni Schwartza są czasami nazywane funkcjami Schwartza.
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Gaussian_2D.png/250px-Gaussian_2D.png)
Przestrzeń Schwartza została nazwana na cześć francuskiego matematyka Laurenta Schwartza.
Motywacja
[edytuj | edytuj kod]Ideą stojącą za przestrzeniami Schwartza jest stworzenie zbioru wszystkich funkcji gładkich w których pochodne szybko maleją do zera. Możemy tego dokonać przez rozważenie wszystkich możliwych pochodnych cząstkowych (gdzie oznacza wielowskaźnik) na gładkiej funkcji o wartościach zespolonych i wzięcie supremum wszystkich możliwych wartości pomnożonych przez dowolny jednomian i żądając, aby supremum było ograniczone. Ściślej możemy zapisać to w postaci:
Warto zwrócić uwagę, że gdybyśmy wymagali tylko ograniczenia pochodnych, to znaczy:
wynikałoby z tego, że wszystkie możliwe pochodne funkcji gładkiej muszą być ograniczone pewną stałą czyli:
Na przykład dla gładkiej funkcji o wartościach zespolonych danej wzorem mamy co jest funkcją nieograniczoną, więc żaden wielomian nie należy do tej przestrzeni. Jeżeli jednak dodatkowo będziemy wymagać pierwotnej nierówności (tj. z jednomianem ), to wynik ten jest jeszcze silniejszy, ponieważ implikuje nierówność
- dla każdego i pewnych stałych
gdyż
Świadczy to o tym, że tempo wzrostu wszystkich pochodnych funkcji musi być znacznie mniejsze niż odwrotność dowolnego jednomianu.
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie zbiorem liczb naturalnych (z zerem) i ustalmy Przestrzeń Schwartza lub inaczej przestrzeń funkcji szybko malejących na jest przestrzenią funkcji:
gdzie jest przestrzenią funkcji gładkich z do a do tego:
Przykłady funkcji z przestrzeni Schwartza
[edytuj | edytuj kod]- Jeśli jest wielowskaźnikiem, a jest dodatnią liczbą rzeczywistą, to
- Każda funkcja gładka o zwartym nośniku należy do Jest to oczywiste, ponieważ każda pochodna jest ciągła i ma ten sam, zwarty nośnik co więc ma maksimum na gdyż każda funkcja ciągła na zbiorze zwartym przyjmuje swoje maksimum.
- Ponieważ przestrzeń Schwartza jest przestrzenią liniową, dowolny wielomian można pomnożyć przez współczynnik dla dowolnej stałej aby otrzymać element przestrzeni Schwartza. W szczególności istnieje zanurzenie przestrzeni wielomianów na w przestrzeni Schwartza.
Własności
[edytuj | edytuj kod]Własności analityczne
[edytuj | edytuj kod]- Ze wzoru Leibniza wynika, że jest zamknięte na mnożenie punktowe – jeśli to także iloczyn
- Jeśli to jest jednostajnie ciągła na
Związek przestrzeni Schwartza z innymi przestrzeniami liniowo-topologicznymi
[edytuj | edytuj kod]- Jeśli to
- Jeśli to jest gęsty w
- Przestrzeń wszystkich funkcji gładkich o nośniku zwartym jest zawarta w a nawet jej gęstym podzbiorem.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- L. Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators I (Distribution theory and Fourier Analysis). Wyd. 2nd. Berlin: Springer-Verlag, 1990. ISBN 3-540-52343-X.
- M. Reed, B. Simon: Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I. Wyd. Revised and enlarged. San Diego: Academic Press, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
- Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis I). Princeton: Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-11384-X.