Przejdź do zawartości

Równanie różniczkowe Poissona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Równanie różniczkowe Poissona – niejednorodne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu typu eliptycznego.

Równanie to zapisać można w postaci:

lub inaczej

Funkcję zmiennych przestrzennych traktuje się jako znaną[1].

Szczególne przypadki

[edytuj | edytuj kod]

Równanie można również zapisać explicite dla przestrzeni o zadanym wymiarze.

Dla przestrzeni trójwymiarowej przyjmuje ono postać równania różniczkowego cząstkowego:

a dla dwuwymiarowej:

W przypadku jednowymiarowym równanie Poissona redukuje się do równania różniczkowego zwyczajnego:

W przypadku jednorodnym, tj. jeśli to mamy do czynienia z przypadkiem szczególnym znanym pod nazwą równania różniczkowego Laplace’a.

Równanie Poissona opisuje wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. rozkład pola prędkości cieczy wypływającej ze źródła, potencjał pola grawitacyjnego w obecności źródeł, potencjał pola elektrostatycznego w obecności ładunków, temperaturę wewnątrz ciała przy stałym dopływie ciepła.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Simeona Denisa Poissona, który sformułował je na początku XIX wieku i przeprowadził analizę jego rozwiązań.

Rozwiązania i funkcje Greena

[edytuj | edytuj kod]

Równanie różniczkowe Poissona z dołączonymi do niego warunkami brzegowymi tworzy eliptyczne zagadnienie brzegowe. Zagadnienie to posiada rozwiązania regularne, o ile warunki brzegowe mają postać ciągłą.

Dla obszaru i funkcji ciągłych i rozwiązaniem równania Poissona w obszarze spełniającym warunek na brzegu jest

gdzie jest funkcją Greena obszaru (o ile dla danego obszaru taka funkcja istnieje).

Funkcją Greena półprzestrzeni jest

gdzie a jest rozwiązaniem podstawowym laplasjanu.

Funkcją Greena (hiper)kuli jest

gdzie a jest rozwiązaniem podstawowym laplasjanu.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Poissona równanie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-06].

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Poisson equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].