Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
|
Ten artykuł od 2010-12 wymaga zweryfikowania podanych informacji: jaka jest dziedzina?. |
Transformata Hilberta
funkcji
oraz transformata do niej odwrotna definiowana jest w następujący sposób:
![{\displaystyle {\widehat {g}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {g(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/919a7ce27e6ec927e97e644ace1dc944a27dfbb3)
![{\displaystyle g(t)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\widehat {g}}(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7853e3201aadf546924d779c32a187ddf84cc5)
Jest to splot funkcji
z funkcją
Transformata Fouriera funkcji
wynosi:
![{\displaystyle H(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )={\begin{cases}+j&{\text{dla }}\omega <0\\0&{\text{dla }}\omega =0\\-j&{\text{dla }}\omega >0\end{cases}},}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098b10d55731d9c1c08936cd76d6a9c2b67d2122)
gdzie
oznacza jednostkę urojoną.
Na podstawie zasady, że splotowi funkcji odpowiada mnożenie ich widm (w sensie transformat Fouriera), wynika z tego, że widmo transformaty Hilberta
różni się od widma „oryginalnego” sygnału
jedynie tym, że dodatnia połówka ulega wymnożeniu przez
a ujemna przez
Mnożenie widma przez
oznacza przesunięcie fazy o
90°, przy zachowaniu niezmienionej amplitudy.
![{\displaystyle {\widehat {G}}(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{g\}(\omega )=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )\cdot G(\omega )={\begin{cases}+j\cdot G(\omega )&{\text{dla }}\omega <0\\0&{\text{dla }}\omega =0\\-j\cdot G(\omega )&{\text{dla }}\omega >0\end{cases}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ed0895516c2a5c946e6641de6eee50f195575c)
- Transformata jest przekształceniem liniowym.
- Sygnał
i jego transformata Hilberta mają to samo widmo amplitudowe.
- Dwukrotnie transformując sygnał
otrzymamy ![{\displaystyle -g(t).}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f416e71b03587733a010b5c96938c0d8d003dd)
- Sygnał
i jego transformata są ortogonalne.
Wybrane pary transformat Hilberta[edytuj | edytuj kod]
Sygnał ![{\displaystyle u(t)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b375df3b65d282f8715835dc91ccb22f46993959) |
transformata Hilberta
|
![{\displaystyle \sin(t)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eb63cccca21b1edef50f707888e3204ab5fda1a) |
|
![{\displaystyle \cos(t)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e085ea72cfc97b8a3ed794d63f7f799e76c2fc) |
|
![{\displaystyle {\frac {1}{t^{2}+1}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ac9e3910a56ccedbf7e4f7330852f3c75e8e6a) |
|
funkcja sinc ![{\displaystyle {\frac {\sin(t)}{t}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1027ad2161410ccded5bc1d8a6a999494fed1bc) |
|
sygnał prostokątny ![{\displaystyle \sqcap (t)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3393a4468aef85fde0821c2540e0d8709f78dc9a) |
|
delta Diraca ![{\displaystyle \delta (t)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c050147a97868286252447ef73515c8108edd398) |
|
funkcja charakterystyczna zbioru ![{\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82688aca72543377ed1ba94b915256000552e1ae) |
|
transformacje całkowe |
|
---|
inne transformacje |
|
---|
w rachunku prawdopodobieństwa |
|
---|