Twierdzenie Bézouta
Twierdzenie Bézouta: Wartość dowolnego wielomianu obliczona dla dowolnej wartości jest równa reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian . W szczególnym wypadku, gdy , to wielomian jest podzielny przez , zaś jest pierwiastkiem wielomianu[1].
Przykłady
[edytuj | edytuj kod](1) Wielomian
nie jest podzielny przez , gdyż ; de facto w dzieleniu tego wielomianu przez otrzymuje się trójmian i resztę .
(2) Wielomian
jest podzielny przez , gdyż .
Twierdzenie Bézouta - ogólne sformułowanie
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie pierścieniem przemiennym z jedynką.
Tw. Element jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian że Ponadto stopień wielomianu jest o jeden niższy niż stopień wielomianu, tj. [1].
Dowód:
[edytuj | edytuj kod]Niech wielomian ma postać
Różnica dwóch k-tych potęg dana jest znanym wzorem:
Niech oznacza większy czynnik z prawej strony powyższej równości. Wtedy
(ponieważ ). Wtedy
Ponieważ jest wielomianem stopnia n-1 (gdyż np. jest wielomianem stopnia n-1), to otrzymujemy tezę twierdzenia, cnd.[2]
Równość Bézouta
[edytuj | edytuj kod]Wartość wielomianu w punkcie jest równa reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian co wynika z ostatniej równości dowodu[3]. Równość tę nazywa się równością Bézouta[1].
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b c Adam Neugebauer , Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. I, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-06-26] .
- ↑ Twierdzenie Bézouta [online], DeltaMi [dostęp 2022-06-26] (pol.).
- ↑ Bézouta twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-12] .
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]Twierdzenie Bézouta – przykłady, matemaks.pl [dostęp 2024-05-17].