Em matemática, existem diversas identidades logarítmicas.
Logaritmos podem ser usados para realizar-se cálculos mais facilmente. Por exemplo, dois números podem ser multiplicados apenas usando-se uma tábua de logaritmos e adição.
Tipo de operação
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identidade
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Justificativa
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Observação
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Produto
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![{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72b4b7ba4c487ba5c15587d2eff610355605901) |
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Divisão
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![{\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5de40724bd183844957d4c17c7812831006b7c) |
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. Por exemplo, , o que não é igual a
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Exponenciação
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![{\displaystyle \log _{b}(x^{d})=d\log _{b}(x)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23edf2cabd7544f17387e50fbad8ce772cdedad) |
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. Por exemplo, , o que não é igual a
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Radiciação
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![{\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa4327beb2984c4f0548bee011606d7588db706) |
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Exponenciação
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![{\displaystyle x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f223e2054ba145e70ed80ffbc4ccc7ff59bc7479) |
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Produto e exponenciação
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![{\displaystyle c\log _{b}(x)+d\log _{b}(y)=\log _{b}(x^{c}y^{d})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a65199c28cefee092329b6d7617a6e3c1531ac) |
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Onde
e
são números reais positivos e
Tanto
quanto
são números reais.
![{\displaystyle \log _{b}(1)=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901f6efd3f7b26aa95b855e884a8c2c620ef1fe0) |
porque |
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![{\displaystyle \log _{b}(b)=1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a58a8d06818394825efc588fa84970424b75f8) |
porque |
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Note-se que
é indefinido porque não existe qualquer número
tal que
De fato, existe uma assímptota vertical no gráfico de
quando
Logaritmos e exponenciais (antilogaritmos) com a mesma base cancelam-se um ao outro. Isto é verdadeiro porque logaritmos e exponenciais são operações inversas (assim como multiplicação e divisão).
![{\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279efc9f676f2d56705091a6a06484d0ed2e05db) |
porque |
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![{\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdcc66ece93bd94f5a7b09b2ac0755a22b8a7df0) |
porque |
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![{\displaystyle \log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14fb3ff79634a5303ca921f4f9bf2cd6fbae1b43)
Esta identidade é necessária para obter-se logaritmos em calculadoras. Por exemplo, a maioria das calculadoras tem teclas para ln e para log10, mas não para log2. Para encontrar-se log2(3), deve-se calcular log10(3) / log10(2) (ou ln(3)/ln(2), os quais resultam o mesmo resultado).
- Considerando-se
![{\displaystyle y=\log _{a}b.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef87556cc219bebfb3e820a79e200c3abaeaac8)
- Então
![{\displaystyle a^{y}=b.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a2f715530b7252fba4a68986d9c66375d203ff)
- Tomando-se
em ambos os lados: ![{\displaystyle \log _{c}a^{y}=\log _{c}b}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18ed21fd5bb120b2dee597d2ae199ce37716bd2f)
- Simplificando e resolvendo para
![{\displaystyle y\log _{c}a=\log _{c}b}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608a25db72acb2c9c93b2e09c6697368ae4be3f5)
![{\displaystyle y={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270399e3c824f828cd23adfd34d40909525890fe)
- Dado que
então ![{\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0716d67f06ddb7d785aa49dadc31104919dbd9)
Esta fórmula tem algumas consequências:
![{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15dbdb202a6378003932e79acd2bb1445ab79b78)
![{\displaystyle \log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292957e57ad67be57d36bbc5fb7386a92077a775)
![{\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f5410f566d0437fa4e94f46fe96659a4676013)
![{\displaystyle -\log _{a}b=\log _{a}\left({1 \over b}\right)=\log _{1 \over a}b}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f780b48ba422b147729c31c728986fa40698e6df)
![{\displaystyle \log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610ded9ad67f1bc2ecd477479e1a416fbef7fbea)
onde
é qualquer permutação dos subscritos 1, …, n. Por exemplo
![{\displaystyle \log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4912396d737dc8f1a15976d4484e959d43602ca1)
A seguinte regra de soma/subtração é especialmente útil em teoria da probabilidade quando se trata de uma soma de log-probabilidades:
![{\displaystyle \log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}(1+b^{\log _{b}c-\log _{b}a})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679969d471ebce23a36409bfe78d6524a8abcbed)
![{\displaystyle \log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}(1-b^{\log _{b}c-\log _{b}a})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca8816dce23baf9c42762c191f71a584810f75f)
a qual resulta nos casos especiais:
![{\displaystyle \log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}(1+{\frac {c}{a}})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f391ce0979d048e317b185a48622637fc61dde)
![{\displaystyle \log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}(1-{\frac {c}{a}})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a745923bfc17025f100c2e190ef12b0322deb0f)
Note-se que na prática
e
tem que ser ligados no lado direito das equações se
Observe-se também que a identidade de subtração não está definida se
uma vez que o logaritmo de zero não é definido.
Mais genericamente:
![{\displaystyle \log _{b}\sum \limits _{i=0}^{N}{a_{i}}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}{b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}}\right)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5146dc4e942855198cfe35dced0d399c35d8cdf4)
onde
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a>1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97e3b766f613f72683985f5d3a932d501431311)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{se }}a<1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960e55219b7be8b22effd403aadeda196fe56780)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{se }}a>1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe107689b4d2e574e0f7d3bdc5d3ad4e8b660736)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a<1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ab359ddfe31c7794e6b6476baa2c68424296d5)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba195e3df473541352d62701ffdc4df98b6bd816)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41894b8cf122d7336bcda5352973c934faef04e0)
O último limite é muitas vezes resumido como "logaritmos crescem mais lentamente do que qualquer potência ou raiz de x".
![{\displaystyle {d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},\qquad b>0,b\neq 1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf4e4d2a50946aa9d4c1a67072f0b24f5bc7249)
![{\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x\ln e}={1 \over x},\qquad x>0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f94d8af1083febf58f96b741b9abf029d4a01cc)
![{\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e72c70a86d7ec8c9b4353058bda339ff8598c7)
![{\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e9d4b89241e2696ab222e6e33cb73c928a62af)
Para lembrar integrais mais altas, é conveniente definir:
![{\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be26aeae0c7b88d50e760d2ce40df2af4c44b0bb)
![{\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078fe3653cf35a30aea1b7f03ea554ae7670b967)
![{\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c12b6bda581e741822ed456b8e7c42955525db0)
![{\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c21bdba06d346a4ba6099ffecd4612135f157a)
![{\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1dd85612d205f8fab7b2af8590f297eec9c209a)
Então,
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1466307fb829dca298b9bfcce3e58bd33c52d8a)
![{\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92036b7056a0179b00f4d6739640046d2e8553ba)
As identidades de logaritmos pode ser usadas para aproximar grandes números. Note-se que logb(a) + logb(c) = logb(a*c), onde a, b, e c são constantes arbitrárias. Supondo-se que quer se aproximat o 44° primo de Mersenne, 232.582.657 - 1. Para obter-se o logaritmo de base 10, nós devemos miultiplicar 32.582.657 por log10(2), tomando 9.808.357,09543 = 9.808.357 + 0,09543. Podemos então tomar 109.808.357 * 100,09543 ≈ 1,25 * 109.808.357.
Similarmente, fatoriais podem ser aproximados por somar-se os logaritmos dos termos.
O logaritmo complexo é o análogo em números complexos da função logaritmo. Nenhuma função no plano complexo pode satisfazer as regras normais para logaritmos. Entretanto uma função multivalorada pode ser definida a qual satisfaça a maioria das identidades. É comum considerar-se esta como uma função definida em um superfície de Riemann. A única versão valorada chamada valor principal do logaritmo pode ser definida a qual é descontínua no eixo x negativo e é igual a versão de vários valores em um único ramo de corte
A convenção usada aqui será que a primeira letra em maiúscula é usada para o valor principal das funções e a versão minúscula refere-se à função de valor multivalorada. A única versão valorada de definições e identidades é sempre dada primeiro, seguida por uma seção separada para as várias versões valoradas.
- ln(r) é o padrão logaritmo natural do número real r.
- Log(z) é o valor principal da função logaritmo complexo e tem parte imaginária no intervalo (-π, π].
- Arg(z) é o valor principal da função arg, seu valor é restrito a (-π, π]. Pode ser computado usando-se Arg(x+iy)= atan2(y, x).
![{\displaystyle \operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3b6b5d895dc34cd7fe1a9deb5a5cdc032c5dcb)
![{\displaystyle e^{\operatorname {Log} (z)}=z}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10733f82bae08d2b858745c7394198cc56ebd60)
A versão valorada múltipla de log(z) é um conjunto, mas é mais fácil escrevê-lo sem barras e usá-lo em fórmulas seguindo regras óbvias.
- log(z) é o conjunto dos números complexos v os quais satisfazem ev = z
- arg(z) é o conjunto dos valores possíveis da função arg aplicada a z.
Quando k é qualquer inteiro:
![{\displaystyle \operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3b6b5d895dc34cd7fe1a9deb5a5cdc032c5dcb)
![{\displaystyle \log(z)=\operatorname {Log} (z)+2\pi ik}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0d82758a97572baaca63dd3269c0d8815121c0c)
![{\displaystyle e^{\log(z)}=z}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d014aa3b80452f9b2d705df46141ecd3d6a77054)
Principais formas de valoração:
![{\displaystyle \operatorname {Log} (1)=0}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d334814ac9f15b6c502dcf24996227be2387eca5)
![{\displaystyle \operatorname {Log} (e)=1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7af5c8d5b041f873b0a3830a0764148ec6e993)
Formas de valoração múltipla, para qualquer k inteiro:
![{\displaystyle \log(1)=0+2\pi ik}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c3df846f92d1458404a21d2af0224bb7f5f1b0e)
![{\displaystyle \log(e)=1+2\pi ik}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e104b9073cfdf336a2158dc04629c206841df536)
Principais formas de valoração:
![{\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){\pmod {2\pi i}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9add87793ba23c8eeea2a29eba062bd8690df7ea)
![{\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){\pmod {2\pi i}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30befeea1d445922e2b4d6024f581b3d93b707ed)
Formas de valoração múltipla:
![{\displaystyle \log(z_{1})+\log(z_{2})=\log(z_{1}z_{2})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bc3196ab347dc2e6af9e9d9e5c51205058ac3b)
![{\displaystyle \log(z_{1})-\log(z_{2})=\log(z_{1}/z_{2})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a1fbec8466425b834aa1a26899fe21fb0d0180)
Um potência complexa de um número complexo pode ter muitos valores possíveis.
Principais formas de valoração:
![{\displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4647cc88b2a865c49818e02c9a70137186036e5a)
![{\displaystyle \operatorname {Log} {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1}){\pmod {2\pi i}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ab92121a1a0880e884ca990b296e5e62513f5c)
Formas de valoração múltipla:
![{\displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\log(z_{1})}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd73505df93592f86d12d4ffd4e31974850c407)
Onde k1, k2 são quaisquer inteiros:
![{\displaystyle \log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\log(z_{1})+2\pi ik_{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9144d397eabeacc01351179bf46b6d8162e331)
![{\displaystyle \log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2\pi ik_{1}+2\pi ik_{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca87e9aae0c0c69013e8e60a841a70220cd483d9)
Referências