În matematică, mai precis în analiză funcțională, spațiile Lp — numite și spații Lebesgue — sunt spații vectoriale normațe de funcții. Elementele acestor spații sunt clase de echivalență de funcții p-integrabile, iar norma, numită norma p, se definește analog cu norma p din
.
Spațiile Lp, în special spațiul Hilbert L2, joacă un rol esențial în mai multe domenii ale matematicii (studiul ecuațiilor diferențiale, teoria probabilităților, etc) și în aplicațiile lor (fizică, inginerie, economie, procesarea semnalelor, etc).
Spațiile
și
, ![{\displaystyle (1\leq p\leq \infty )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec168a68b91d210bf5f71bc52715b0843c680e6)
[modificare | modificare sursă]
Fie
o mulțime deschisă din
și
un corp.
Notăm cu
tribul borelian al părților boreliene din
, iar
este restricția măsurii lui Lebesgue n-dimensionale din
la
, atunci prin definiție
este
. Vom considera pe spațiul
norma
![{\displaystyle ||f||_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}dx\right)^{1/p},}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1645c8d8464f720466cc728654d843dde073a897)
care induce metrica
și față de care
este un spațiu complet. Prin
vom înțelege mulțimea funcțiilor cu valori în
, care sunt p-sumabile pe orice compact din
. Elementele din
le vom numi funcții local p-sumabile. Rezultă imediat că
este un spațiul liniar cu operațiile de adunare și înmulțire cu scalari a funcțiilor.
devine un spațiu local convex separat cu sistemul de seminorme
, unde K parcurge compactele din
și
![{\displaystyle s_{K}^{p}(f)=\left(\int _{K}|f(x)|^{p}dx\right)^{1/p},f\in L^{p}(\Omega ).}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8407ae7aafe9574e62b3d6654d7f9d153d1bb789)
Este ușor de verificat că pentru o exhaustiune
cu compacte a lui
, sistemul
de seminorme este crescător și generează topologia local convexă inițială pe
. De aici rezultă că
este metrizabil. Dacă
și
este un compact oarecare în
, din relația
![{\displaystyle \int _{K}|f(x)|dx\leq \left(\int _{\Omega }|f(x)|^{p}dx\right)^{1/p}\left(\int _{K}1dx\right)^{1/p'},\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1\right)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3555b49548a5f7232354b728e508341fe6882b65)
rezultă că
pentru orice
.
Punem în evidență organizarea lui
ca algebră Banach.
TEOREMA 1. Fie
. Atunci pentru orice
, funcția
este în
. Convoluția
definită prin:
![{\displaystyle (f*g)(y)=\int f(x)g(y-x)dx\quad (1)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8345c08b90021a3f179c2e061bd46c01e55c4f5)
este de asemenea o funcție din
și în plus
![{\displaystyle ||f*g||_{1}\leq ||f||_{1}*||g||_{1}.\quad (2)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ab3d144d7998213c779a51f78ff188e9354a8e)
Cu convoluția funcțiilor ca înmulțire,
devine o algebră Banach.
Demonstrație. Pentru funcția măsurabilă pozitivă
, integrala iterată
![{\displaystyle \int \left(\int |f(x)||g(y-x)|dy\right)dx,\quad (3)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d3a7a538ee57ac445ff9f989c4d5c93a3edc20b)
este evident egală cu
. Așadar, conform teoremei lui Fubini pentru funcții măsurabile pozitive, rezultă că există și cealaltă integrală iterată și este egală cu integrala (3), deci în particular
este sumabilă ca funcție de
, integrala sa este măsurabilă ca funcție de
și are integrala finită. Rezultă că
este absolut sumabilă și
![{\displaystyle \int \left|\int f(x)g(y-x)dx\right|dy\leq \int \left(\int |f(x)||g(y-x)|dx\right)dy=||f||_{1}\cdot ||g||_{1},}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c393ebb062ac75a0502988929362ab24a221a9)
ceea ce înseamnă
Comutativitatea convoluției rezultă simplu printr-o schimbare de variabilă în integrala (1), iar asociativitatea în modul următor
![{\displaystyle (f*(g*h))(x)=((h*g)*f)(x)=\int (h*g)(y)f(x-y)dy}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e14069b33a6ab75bedca46200efec1e116b0617)
![{\displaystyle =\int \left(\int h(z)g(y-z)dz\right)f(x-y)dy=\int \left(\int g(y-z)f(x-y)dy\right)h(z)dz}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a76b27c53396058a74929b437305bfba6626be0)
![{\displaystyle =\int \left(\int f(x-y)g(x-z-(x-y))dy\right)h(z)dz=\int (f*g)(x-z)h(z)dz}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0a9f2e1789b1314c62fd9750a51f997eb1a38d)
![{\displaystyle =((f*g)*h)(x).\quad (4)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1922dad1f74223851390b7058949e097d439e96b)
În a patra egalitate de sus am utilizat teorema generală a lui Fubini de intervertire a ordinii de integrare. Penultima egalitate s-a obținut prin schimbarea de variabilă în integrala interioară:
Distributivitatea convoluției față de adunare rezultă din liniaritatea integralei (1) prin raport cu
, cât și prin raport cu
Cu aceasta
devine algebră Banach.
TEOREMA 2. Fie
și
Atunci
este definită printr-o integrală de tipul (1) pentru aproape orice
,
și
![{\displaystyle ||f*g||_{p}\leq ||f||_{1}\cdot ||g||_{p}\quad (5).}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab277e1b6894aa2bc8b81117cfc26dc84ef46eb)
Demonstrație. Pentru
rezultatul este conținut în teorema precedentă.
Fie deci
și
ca de obicei conjugatul lui
. Din inegalitatea lui Hölder avem:
![{\displaystyle \int |f(x)|^{1/p}|g(y-x)||f(x)|^{1/p'}dx\leq \left(\int |f(x)||g(y-x)|^{p}dx\right)^{1/p'},}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e5aadaca5c926a9e1af5555d1fdbd20203af14)
de unde, cum
cu teorema precendentă deducem că
este definită și finită pentru orice
și de asemenea rezultă că
![{\displaystyle |(f*g)(y)|^{p}\leq \left(\int |f(x)||g(y-x)|^{p}dx\right)||f||_{1}^{p/p'}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35099a0c42802c399fd99c187fa5f55fa5d4372)
Integrând ultima inegalitate și aplicând teorema lui Fubini obținem
![{\displaystyle ||f*g||_{p}^{p}\leq ||g_{x}||_{p}^{p}\cdot ||f||_{1}||f||_{1}^{p/p'},}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ab7d687b021ff1341629f6dbfe4fe2e4f39616)
de unde cu
obținem (5).
Cu TEOREMA 2 semnalăm că aplicațiile
și
sunt liniare și continue de la
respectiv
la
. În acest fel cu convoluția ca operație externă,
se organizează ca modul Banach peste algebra Banach
D. GAȘPAR, P. GAȘPAR, Analiză funcțională, Ed.de Vest, Timișoara, 2009